Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
дисперсию случайной величины
my = \y(x)mx(x)dx, Dy= ? ^ ф(и)ф(п)^*(п, n)dTidT2. (69) т т т
§2.4. ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 127
Пусть теперь X (У)- л-мерная векторная случайная функция, g(t, т) - тхп-
матрица. Формула (62) определяет в этом случае щ-мерный векторный с. к.
интеграл. Условием его существования является существование всех
скалярных интегралов в выражении компонент вектора Y (У). Из выведенного
необходимого и достаточного условия существования скалярного с. к.
интеграла и из леммы и следствий п. 2.4.2 вытекает, что математическое
ожидание случайной функции Y (У), представляющей собой векторный с. к.
интеграл (62), определяется формулой (64), а ее ковариационная функция -
формулой
К у (*i. Q = И ? Tl) Кх (п, т2) g (У2, т2)* dx, dx2. (70)
Т т
Формула (65) представляет собой частный случай формулы (70),. когда
функции g (У, т) и Kx{t" У2) - скалярные. Формула (66) для взаимной
ковариационной функции Y (У) и X (У) справедлива и в случае векторного с.
к. интеграла (62), а формула (67) заменяется формулой
**) = s x)*dx. (71)
т
Заменив в (70), (66) и (71) букву К везде буквой Г, получим аналогичные
формулы для моментов второго порядка.
Если рассматривать скалярные с. к. интегралы
Y = J ф (т) X (т) dx, Z = J ф (т) X (т) dx (72)
т т
как компоненты двумерного векторного с. к. интеграла (т = 2, л = 1), то
формулы (64) и (70) дадут, кроме формул (69) и аналогичных формул для
математического ожидания и дисперсии случайной величины Z, еще следующую
формулу для ковариации величин У и Z:
Kz = S S ф КЖп) кх (П, Т2) dx, dx2. (73)
Т т
Формулы (69) и (73) обобщаются на случай векторных величин X
(У), У и Z совершенно так же, как (65).
Пользуясь понятием с. к. интеграла, можно определить оператор момента
второго порядка и ковариационный оператор случайной функции X (У)
формулами
Гхф = MX (s) J X (У)* ф (У) dt,
т
Кх<р = MX0 (S) 5 (У)* ф^У) dt.
т
128
ГЛ 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Аналогичными формулами можно определить взаимный оператор момента второго
порядка и взаимный ковариационный оператор двух случайных функций.
Пример 16. Найти ковариационную функцию интеграла от случайной функции
t
У (/) = ^ X (т) dx,
о
если X (/) имеет показательную ковариационную функцию Кх (tu 12) = = De~a
I I. Применяя формулу (65), находим
h t,
Ky(tь t2) = D J J e~a'x'-x']dx1dx2.
О о
При h < t2 эта формула дает
fi (Хг t2 ^
Kyih, f.)=D e-a^-^ dx2\dx,=
0 Vo Xi )
= (tm) tl + 4 [e-e,' + - e~a -1].
CC 0. J
При /х > /2 вследствие симметрии ковариационной функции переменные t и /2
меняются местами. В результате получим
Ky(tu f2)=^mln{/x, М+^- + -l].
В случае действительных функций g(t, х) и случайной функции X(t) в (62)
аналогично выводятся формулы для моментов высших порядков случайной
функции Y (t). Ограничиваясь для простоты случаем скалярных g(t, х) и
X(t), приведем формулу для момента r-го порядка с. к. интеграла (62):
a"(tu /г) = $.. . Хх).. .g(tr, хг)а*(хх, . . ., xr)dxi . ..dxr.
т т
Эта формула справедлива не только для начальных моментов а, но и для
центральных моментов р и для соответствующих семиинвариантов. Для
существования момента ayr{tu . .., tr) случайной функции Y (t) необходимо
и достаточно, чтобы существовал такой же момент a? (tlt tr) случайной
функции Х(/) и интеграл в правой части приведенной формулы сходился.
2.4.6. Средние квадратические интегралы с переменными пределами.
Рассмотрим случайную функцию
t
= P('T)A(x)dx)
а
где ф(/)- непрерывная функция, X(t) - с. к. непрерывная случайная
функция. В общем случае X(t) и Y (t) - векторные слу-
§ 2.4. ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 129
чайные функции разных размерностей, ф(т) - прямоугольная матрица.
Докажем, что случайная функция Y (t) имеет с. к. производную, равную
<p(t)X(t). Для этого достаточно доказать, что
М | AY/At - ф (t) X (t) |2 -0 при А/->0,
где
t + At
AY = Y(t + At) - Y(t)=: \ <р(т)Х(т)dx.
> На основании (70) и (71) моменты второго порядка случайных функций AY
(t)/Af и ф (t) X (t) определяются формулами
t + M
М AY X (t)* ф (t)*/At = [ ф(т)Гл(т, t)(p(t)*dx =
t
= ф (д) г* (оц 0ф(0*. МФ (0 X (0 AY*/At = ф (0 Гл (t, аг) Ф (о2)\
t -At t + At
М AY AY* I АР = \ ^ ф(т1)Гл (tj, 'x2)(p(x2)*dx1dx2 =
i t
= ф(Оз)Гл(сТз. сг4)ф(а4)*,
где (jj, cr2, a3, a4 - некоторые средние точки интервала (t, t-\-At). При
выводе этих формул мы применили интегральную теорему о среднем, имея в
виду непрерывность функции ср (/) и Гл(/Х, /2). На основании этих формул
М | AY/At - Ф (t)X(t) |2 = tr {М AY AY*/At2 - M AY X (t)* ф (t)*/At - -
Мф (t) X (0 AY*/At + Мф it) X (0 X (0* ф (/)*} =
= tr {ф (a8) ГА. (o3, а4)ф(ст4)* -ф(а1)Гх(ст1, /)ф(0* -
-ф(0Г,(/, (r)*)ф(<гг)*+ф(0Г,(^. Оф(0*}--о
при Дг -* 0, так как ои а2, ст3, а4 -> t и функции ф (t) и Г* (/х, /2)
непрерывны. -Ц
Таким образом, с. к. производная интеграла от с. к. непрерывной случайной
функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции при
этом верхнем пределе. Иными словами, обычное правило дифференцирования
