Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Подобные уравнения, называемые стохастическими дифференциальными
уравнениями, играют большую роль в теории случайных функций и ее
приложениях. Такие дифференциальные уравнения будут рассмотрены в § 3.3,
3.6.
Пример 14. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию
производной случайной функции X (t), если
тх (t) = c sin ш0/,
Xx(h, /а) = Пе_а1<1_<г| | coscoo (tx - ^)+^sinco0| h - *alj-
Применяя формулу (55), находим математическое ожидание производной л':
myi (t) - m'x (^) = ссо0 cos со0(.
Дифференцируя Kx(tx,t2) по /2, находим на основании (57) взаимную
ковариационную функцию случайной функции X (t) и ее с.к. производной
X'(t):
Кхх' (П. t^ = dKxQt1' ° e~aUl~iA sin о)0 (tx - t2)-
Ot 2 со0
Ковариационная функция с.к. производной X' (t) на основании (56) равна
KX'(tut2) =
_д К Ah, ^2)_д (а2_|_щ2) e-a\t1-tz\l cos ^-^2)-- sincflo I tx - t21
(yj~^--и \u -f-шо je '^сиьшо!1!-'21 - - '2 I j-•
Эта функция непрерывна при всех tx, t2. Поэтому рассматриваемая случайная
функция с.к. дифференцируема. Что касается ее реализаций, то они могут
быть дифференцируемыми, а могут быть и недифференцируемыми.
Пример 15. Найти ковариационную функцию производной случайной функции X
(t), обладающей нулевым математическим ожиданием и ковариационной
функцией
Kx(h, t2) = De'l(tl + t')-(1+а| tx -12\).
Имеем
Кхх- (*1,12) = дЛх%^М (tx-t2) + + (П, t2),
Ot 2
Кх'{iu h) = д*~дГхк!г)=Da2el1 <'h+U)-aUl~UU\-a.\tx-t2\) +
+ n2/cx(/i, t2) + 2DaV?^ tx - t2 |.
§ 2.4. ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 125
Эта функция непрерывна при всех /i = /a = f> поэтому X (/) с.к.
дифференцируема. Реализации функции X (t) могут быть как
дифференцируемыми, так и недифференцируемыми.
Приведенные примеры показывают, что с. к. дифференцируемость случайной
функции ничего не говорит о дифференцируемости ее реализаций, и наоборот.
Определение с. к. производной относится также и к частным с. к.
производным случайной функции векторного аргумента. При этом формулы
(55)-(60) распространяются с очевидными несущественными изменениями на с.
к. частные производные.
2.4.5. Интегрирование случайных функций. Пусть X(t) - случайная
скалярная функция, определенная в области Т изменения аргумента i, g (t,
т) -функция двух переменных t,x?T. Возьмем последовательность разбиений
{Рп} области Т:
Т= и Апк, при hФк,
k = i
такую, что
Дп = тах sup \t' - при п->-оо.
* t, t'eAg
Образуем последовательность интегральных сумм Римана
Nn
^(0=2 g(t, Tjjf-Wxrw, (6i)
k~ 1
где т(лп) - произвольная точка области А%, &t(kn) - объем области А\
(*=1, ..., Nn).
Средним квадратическим или, короче, с. к. интегралом от случайной функции
g(t, т)Х(т) по области Т называется с. к. предел последовательности
интегральных сумм {И"(^)}, если он существует:
у (0 = S ё (t, т) х (т) dx = 1. i. m. 2 g V, xg") x (Tj">) ыр. (62)
Т П-+СВ /;_!
> Чтобы найти необходимое и достаточное условие существования с. к.
интеграла (62), применим теорему о с. к. сходимости п. 2.4.2. Из (61)
находим
MYnV)YA0 =
Nn Nm____________________________________
= 2 2 g(t, TF)g(t, XГ)МХ(С)Х(т)"")АСАГ =
k=l 1=1
Nn Nm____________________________________
= 2 2 g (t, Лп>) g (t, тГ) Гх (Tg", тГ) А/Г1'•
k=l 1=1
126
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Последняя часть здесь имеет предел при п, т -* оо тогда и только тогда,
когда существует интеграл
И п)г*(И, x^dx^dx^. < (63)
Т т
Таким образом, из теоремы о с. к. сходимости следует, что с. к. интеграл
(62) существует тогда и только тогда, когда существует интеграл (63). При
этом интеграл (63) представляет собой момент второго порядка интеграла
(62).
Определив с. к. интеграл по ограниченной области Т, можно обычным путем
распространить это определение на бесконечные области, пользуясь понятием
с. к. предела вместо обычного. При этом необходимым и достаточным
условием существования с. к. интеграла (62) будет по-прежнему
существование интеграла (63).
Если интеграл (62) существует при всех t ? Т, то он представляет собой
случайную функцию Y(t), t?T. Согласно лемме п. 2.4.2 и ее следствиям 2 и
3 в этом случае существуют также пределы последовательностей {MYn(t)},
{MY° (tt) Y°m (/2)},
{MY МУЖ)), {MYljtJWW}, {MX^t^YliJJ},
{MY "{t^X^t^}, представляющие собой со-
ответственно математическое ожидание, ковариационную функцию, момент
второго порядка случайной функции Y (t) и ее взаимные ковариационные
функции и взаимные моменты второго порядка со случайной функцией X (/):
my(t) = \ g(t, x)mx(x)dx, .(64)
т
Ky(tlt f2)=S 5 g(tu г2)Кх{м, nt)dx1dx2, (65)
T T
KyX (tlt Q = S g (tu t) Kx (t, t,) dx, (66)
T
Kxy (ti, Q = 5 g(t2, x)Kx (tu t) dx. (67)
T
Заменив в (65) и (66) букву К везде буквой Г, получим аналогичные формулы
для начальных моментов второго порядка.
В частном случае, когда g (t, т) не зависит от t, g (t, т) = <р (т), с.
к. интеграл (62) представляет собой случайную величину
Y = $<p(T)X(T)dT. (68)
т
В этом случае формулы (64) и (65) определяют математическое ожидание и
