Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
случайной функции распространяются и на векторные случайные функции.
Пример 12. Случайные функции примеров 5 и 6 с. к. непрерывны. Однако все
реализации случайной функции примера 5 разрывны, в то время как все
реализации случайной функции примера 6 непрерывны. Случайная функция
примера 10 не с. к. непрерывна из-за множителя &(t1 - <2) в выражении
ковариационной функции. Однако все ее реализации непрерывны. Таким
образом, понятие с. к. непрерывности случайной функции никак не связано с
непрерывностью ее реализаций.
2.4.4. Дифференцирование случайных функций. Скалярная случайная
функция X (t) называется с. к. дифференцируемой (в области Т), если
существует такая случайная функция X' (t), к которой с. к. сходится при
всех t?T случайная функция [Х(^-)-Л)-¦ - X(t)]/h при h0. Случайная
функция X' (t) называется средней квадратической (с. к.) производной
случайной функции X (t).
> Для нахождения необходимых и достаточных условий с. к.
дифференцируемости случайной функции X (t) применим теорему о с. к.
сходимости п. 2.4.2. Согласно этой теореме с. к. предел случайной функции
Xh(t) = [X(t + h)-X(t)]/h
при h -* 0 существует тогда и только тогда, когда существует предел
момента второго порядка MXh{t) Xt{t), независимый от того, как h, I -+ 0.
Но
MXh(0xjf) ^±M[X(t + h)-x(/)][Х(7+7)-хЩ] =
= щ [Г* (t + h, t -f /)-Гx(t, t + I) - Гж (/ + h, t) + Гж (t, 0]
и предел правой части при h, I 0, если он существует, представляет собой
значение второй производной <52ГЛ(^1, t2)/dt1dt2 в точке t1 = ti = t. М
Таким образом, случайная функция X (t) с. к. дифференцируема тогда и
только тогда, когда ее момент второго порядка Гж {t1, t2) имеет
непрерывную производную о2Гх(^, t2)/dt1dt2 при всех =^t2 - t^T. При этом
6*Tx(tlt t2)ldtrdt2 согласно лемме п. 2.4.2 существует при всех tu t2?T и
представляет собой момент второго порядка с. к. производной X'(t):
г (f f \ д2Гх (ti, t2)
1 * С1' - dtl dtt '
§ 2.4. ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 123
а производная 5Гл(/15 t2)/dt1 согласно следствию 2 п. 2.4.2 представляет
собой взаимный момент второго порядка случайных функций X' (t) и X (/):
Из второй формы теоремы о с. к. сходимости следует вторая форма
необходимых и достаточных условий с. к. дифференцируемости случайной
функции: случайная функция X {t) с. к. дифференцируема тогда и только
тогда, когда существуют непрерывная производная ее математического
ожидания mx{t) и непрерывная смешанная вторая производная ее
ковариационной функции Kx{t\, t2). При этом математическое ожидание с. к.
производной X' (/), ее ковариационная функция и взаимные ковариационные
функции с X (/) определяются формулами
С. к. производные случайной функции высших порядков определяются, как
обычно. С. к. производной порядка р случайной функции X (/) называется с.
к. производная ее с. к. производной порядка р - 1 {р = 2,3, . . .).
Необходимые и достаточные условия р-кратной с. к. дифференцируемости
случайной функции вытекают из выведенных условий по индукции.
Из формул (52) - (57) по индукции вытекают следующие формулы для
математических ожиданий, ковариационных и взаимных ковариационных
функций, моментов и взаимных моментов второго порядка с. к. производных
случайной функции X (/):
Векторная случайная функция называется с. к. дифференцируемой, если с. к.
дифференцируемы все ее компоненты. Из выеденных условий с. к.
дифференцируемости случайной функции и леммы Лоэва вытекает, что эти
условия необходимы и достаточны также для с. к. дифференцируемости
векторной случайной Функции X (t) и что формулы (52) - (60) справедливы
также и Для векторной случайной функции X(t).
(53)
и, аналогично,
Г**' (П> ^г) -
(tlt t2) dt2
(54)
тх. (t) = MX' (t) = mx(t),
(55)
(56)
dKx (th ti)
dt2
(57)
mxw) (t) = МХ*-р) (t) = m(xp) (t),
(58)
(59)
(60)
124
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Пример 13. Ни одна из случайных функций примеров 5, 6 и 10 не с.к.
дифференцируема. У случайных функций примеров 5 и 6 d2Kx(tx,t2)/ /dtxdt2
не существует при tx=.t2 = t. У случайной функции V (t) примера 10
ковариационная функция является обобщенной функцией и поэтому
недифференцируема в обычном смысле. Однако все реализации случайной
функции X (t) примера 6 и случайной функции V (t) примера 10
неограниченно дифференцируемы. Следовательно, X' (t) и V' (t) существуют
как раз в том смысле, в каком они нужны для приложений. Мало того, легко
видеть, что случайные функции X (t) и Y (t) примеров 6 и 10 связаны
соотношением
X' (t)+aX (t) = Y(t).
Таким образом, случайная функция X (t) представляет собой интеграл
дифференциального уравнения с белым шумом в правой части, причем именно в
том смысле, в каком это нужно с точки зрения приложений. С точки же
зрения корреляционной теории это дифференциальное уравнение не имеет
смысла, так как случайная функция X (t) не имеет с.к. производной. Тем не
менее дифференциальным уравнениям с белым шумом в правых частях можно
придать строгий математический смысл и в рамках корреляционной теории.
