Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
**) Сокращение от английского limit in mean.
120
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
^ Пусть {Ха} и {Fg}-два семейства случайных величин, Ха с. к. сходится к
X при аа0, a Fg с. к. сходится к F при Тогда
MXaYp-MXY = МХа (Fg-F) + М (Xe -X) Y.
Применим к каждому слагаемому в правой части известное неравенство для
моментов второго порядка (ТВ, п. 3.3.4):
\MXa(y^-y)\<VM\Xai-M\Y^-Y\\
\М(Ха-X)F|<|^M|Xa - X|2M|F|2.
Из с. к. сходимости Ха к X и Fg к Y следует, что правые части этих
неравенств стремятся к нулю при а -> а0, |3 -> |30 *). Следовательно,
MXaYg -> MXY при а -> сс0, (3 -> |30
независимо от того, как точка (а, (3) стремится к (а0,|30) (в частности,
можно принять а -а0 при фиксированном (3, а потом (3 -^ Ро)- В этом
состоит содержание леммы Лоэва. -4
Следствие 1. Если Ха^Х, то МХаХ$ -> М | X |2 независимо от того, как а,
|3 -а0. Для доказательства достаточно применить лемму к случаю, когда FP
= Xр.
Следствие 2. Если Ха СД1'X, то для любой случайной величины F MXaF ->¦
МХУ. Для доказательства достаточно применить лемму к случаю, когда FP = F
при всех р.
Следствие 3. Если Ха ЕД.' X при а-+а0, то МХа -Д MX и МХ°аХ1 -М | Х° |
независимо от того, как а, |3 -с а0. Для доказательства достаточно
воспользоваться равенством
М | Ха-XI" = | МХа - MX |2 + М | Х°а -Х° j2,
согласно которому с. к. сходимость Ха к X влечет сходимость MXа к MX и с.
к. сходимость Х" к Х°, и применить следствие 1.
Можно доказать также обратное предложение: если существует предел lim
MXaXg, независимый от того, как а, |3 -> а0,
а, р->*ао
то существует такая случайная величина X, к которой с. к. сходится Ха,
М|Ха - X |2 -^ 0 при а-+а0**).
*) Величина М | Ха |2 остается ограниченной при а -> а0, так как М | Ха
|2<2М | X |2 + 2М | Ха - X |2.
**) Доказательство здесь не приводится, так как оно требует применения
элементов функционального анализа, а именно оно основано на рассмотрении
случайных величин с конечными моментами второго порядка как элементов
гильбертова пространства со скалярным произведением (X, У)= = MXY и на
свойстве полноты гильбертова пространства [3, 40].
§ 2.4. ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 121
Из леммы Лоэва и последнего предложения вытекает общая теорема о с. к.
сходимости: дм с. к. сходимости случайной величины Ха к некоторой
величине X при а -*- а0 необходима и достаточна сходимость МХаХ$ к
(неотрицательному) пределу, не зависящему от того, как а, (3 -* а0.
На основании следствия 3 эту теорему можно сформулировать иначе: для с.
к. сходимости случайной величины Ха к некоторой случайной величине X
необходима и достаточна сходимость математического ожидания МХа к
некоторому пределу и сходимость центрального момента МХ°ЛХ1 к пределу, не
зависящему от того, как а, р -*-а0.
2.4.3. Средняя квадратическая непрерывность случайной функции.
Скалярная случайная функция X (t) называется непрерывной в среднем
квадратическом или, короче, с. к. непрерывной в точке t, если при любом
е>0 существует такое 8 = 8(e) > О, что
M\X(tr)-Х(?)|2<е при всех t', \t' - /|<8.
Случайная функция X (t) называется с. к. непрерывной в области Т, если
она с. к. непрерывна при всех t g Т.
Из этого определения следует, что случайная функция X(t) с. к. непрерывна
в точке t (в области Т), если X(t') с. к. сходится к X (t) при t' -*t при
данном t (при всех t ? Т).
> Для того чтобы найти необходимое и достаточное условие с. к.
непрерывности случайной функции X(t), применим общую теорему о с. к.
сходимости, установленную в п. 2.4.2. Согласно этой теореме X (t') с-2^ X
(t) при t' -*t тогда и только тогда, когда MX (t') X (t") сходится к
некоторому пределу независимо от того, как t', t"-+t. Но MX(t')X(t") =
Yx(t', t") и стремление Tx(t', t") к определенному пределу, независимому
от того, как t', t" ->t, означает непрерывность Tx(tu t2) в точке t1 = t,
t2 = t. -4
Таким образом, дм с. к. непрерывности случайной функции X(t) в точке t (в
области Т) необходима и достаточна непрерывность ее момента второго
порядка ГД^, t2) в точке (t, t) (во всех точках (t, t), t?T).
> Если случайная функция X(t) с. к. непрерывна в области Т, то при любых
tr и t2 X (tf) X (^), X(t") С-'Л' X(t2) при ? -> tly t"->t2. Согласно
лемме п. 2.4.2 в этом случае MX (t') Y(f) MX (tx) Щ т. e. Tx (t', t") -
Tx (tu t2) независимо от того, как точка (t', t") стремится к (^, t2). ^
Таким образом, случайная функция X (/) непрерывна в области Т тогда и
только тогда, когда ее момент второго порядка ГЛ(^i, t2) непрерывен в
области t2^T.
Из второй формы теоремы о с. к. сходимости вытекает теорема: лучайная
функция X (/) с. к. непрерывна в точке t (в области Т)
122
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
тогда и только тогда, когда ее математическое ожидание тх (t) непрерывно
в точке t (в области Т), а ее ковариационная функция Kx(tu t2) непрерывна
в точке (t, t) (в области , t2?T).
Векторная случайная функция называется с. к. непрерывной, если с. к.
непрерывны все ее компоненты. Выведенные условия с. к. непрерывности
