Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
_ _тт) 1 (X(") i x
Vi, .... V" (-^1 •••
("=1,2, ...).
118
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Формула (48) для коэффициентов cv, v"(*i> •••, tn) принимает
при этом вид
Cvt, .... Vn (А> • • ¦ I О =
Сс сс
= 5 ¦ • ¦ 5 fn(x 1. . . ., tn) GVl v"(jfi - m(A), . . .
- CO - cc
xn-m(tn))dxi- ¦ ¦ dxn = [GVl Vnid/id^ - mitj), ..., дЦдкп -
/П (^n)) Sn (Ali • • • > ^n> ^1> • • • i = = X" = 0
= [GVl Vn (д/i d)n, . . ., д/i dln) gn (%u . . ., Xn\ tu ...,tn)x
Xexp {- /Афл(А) - . . . - iKm(tn)]\K=...=Kn=o..
§ 2.4. Операции анализа над случайными функциями
2.4.1. Вводные замечания. Все операции математического анализа
опираются на понятия сходимости и предела. Определяя операции анализа над
случайными функциями, мы неизбежно сталкиваемся с пределами
последовательностей случайных величин. Следовательно, необходимо
опираться на понятия вероятностной сходимости и вероятностного предела. А
так как существует много видов вероятностной сходимости (ТВ, п. 6.1.2),
то соответственно получатся различные определения операций анализа. Каким
же видом вероятностной сходимости следует пользоваться в теории случайных
функций? Прежде чем ответить на этот вопрос, взглянем на него с
практической точки зрения. Из сказанного в п. 1.4.1 ясно, что с
практической точки зрения нас интересуют только реализации случайной
функции, так как только с ними мы встречаемся на практике, только они
наблюдаются в результате опытов и регистрируются приборами. Поэтому,
говоря о непрерывности случайной функции, мы, естественно, подразумеваем
непрерывность всех ее реализаций. Говоря о дифференцировании и
интегрировании случайной функции, мы имеем в виду дифференцирование и
интегрирование всех ее реализаций, и т. д. Но ни понятие сходимости в ^-
среднем, в частности в среднем квадратическом, ни понятие сходимости по
вероятности, ни даже понятие сходимости почти наверное не дают
возможности определить непрерывность и дифференцируемость случайной
функции как непрерывность и соответственно дифференцируемость всех ее
реализаций, так как они дают возможность делать высказывания
вероятностного характера относительно поведения случайной функции в
данной точке или в каждой точке данной области, но не дают возможности
делать какие бы то ни было выводы относительно поведения реализаций
случайной функции.
Конечно, можно определить непрерывную случайную функцию как случайную
функцию с непрерывными реализациями. Производную случайной функции X (t)
можно определить как
§ 2.4. ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ Jig
случайную функцию, возможными реализациями которой служат производные
всех реализаций случайной функции X(t). Интеграл от случайной функции X
(t) можно определить как случайную величину, возможными значениями
которой служат интегралы от всех реализаций случайной функции X (t).
Однако при этом мы встретимся с большими трудностями математического
характера, в частности при вычислении даже самых элементарных
характеристик, таких как математические ожидания и моменты второго
порядка производных и интегралов. Преодолеть эти трудности можно только с
помощью очень тонких математических исследований, в результате чего
получится очень сложная теория *). Поэтому по крайней мере в прикладной
теории случайных функций обычно ограничиваются определениями операций
математического анализа над случайными функциями, основанными на понятии
средней квадратической сходимости. Такие определения позволяют построить
совершенно элементарную теорию дифференцирования и интегрирования
случайных функций, дающую удобные практические методы исследования
случайных функций. Эта теория обычно называется корреляционной теорией
случайных функций.
Опыт применения корреляционной теории дифференцирования и интегрирования
случайных функций убеждает нас в том, что эта теория является мощным
инструментом исследования, позволяющим эффективно решать различные
практические задачи, связанные со случайными функциями.
2.4.2. Средняя квадратическая сходимость. В соответствии с нашим
общим условием, изучая свойства случайных функций, связанные с моментами
первого и второго порядков, будем считать все случайные величины и
функции в общем случае комплексными.
Последовательность скалярных случайных величин (АТ"} с конечными
моментами второго порядка называется сходящейся в среднем квадратическом
или, короче, с. к. сходящейся к случайной величине X, ХпссЛ:Х, если М\Хп-
АГ |2 -^ 0 при п-->¦ оо. Случайная величина X называется средним
квадратическим или, короче, с. к. пределом Хп, что записывается в виде X
= l.i.m. Хп * *).
Аналогично, в случае любого однопараметрического семейства случайных
величин {Ха} с конечными моментами второго порядка говорят, что Ха с. к.
сходится к X при а -<¦ а0, Хас-д^.Х, если М | Ха - А|2->0 при а -+ а0.
В дальнейшем, говоря о с. к. сходимости, всегда будем рассматривать
случайные величины с конечными моментами второго порядка.
*) См., например, [99] (§ 111.5), [91] (§ 4.2-4.4), [102] (вып. 8).
