Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
= tfVl.....vn (xi - m(ti), •••, Xn - m(tn))l{v ц! ... vnr!),
Cjv. . ., Vn (xi> • • • " Xn, ^1" ' * ' ' ^n)
= <JVl...........vn(Xi-m(ti), •••, xn-m(tn))t
где tfVl> ...,vn(x1, ¦¦¦, xn), GVl......vn(xu •••. xn) - полиномы
Эрмита (n=l, 2, ...) (приложение 1). Согласованной последовательностью
плотностей w" в этом случае служит последовательность конечномерных
нормальных плотностей
wn(x 1, . . хп; tu . . tn) =
= [(2я)(tm)|Х"|]-ч* ехр | - у (хм т-ml) Кй1 (xw - тп) J- ,
xin) = [*[... xlY, тп = [т (Ч)т ... т (/")т]т,
где
~К (tu rH гН !< 12) . ¦ ¦ К (h, *1.)!
кп = K(h, ^)Т K(t2, ti) • ¦ ¦ К (tu tn)
Я (tu tnY K(t" tny ¦ .. K(tn, tnY
a m(i) и К (/, t') - математическое ожидание и ковариационная функция
некоторой случайной функции. Условия согласованности 1), 2) и 4) в данном
случае удовлетворяются при г=1 в силу теорем 1, 2 и 4 приложения 1. Чтобы
убедиться в том, что условие 3) также удовлетворяется при r= 1, перепишем
равенство (16) приложения 1 в виде
''"г1 j
Vl| I Г7 Vn - i - k, k {Xx, • • ¦ , Xn_i, Xn_x)
k - 0
~ Vi! " . v"_i'r ^Vl' ¦ • vn-i(*i> 1)-
Но это и есть условие 3) при г=1. Последовательно применяя соотношения
условий 1) - 4) г раз, убеждаемся в том, что условия 1) - 4)
удовлетворяются и в случае r-мерных векторных переменных xlt хг, ... и
индексов v*, v2, ....
Полиномы HVl........vn(xi. •• •> *n). Gv, v"(*i xn) в дан-
ном случае зависят от tu .. ., tn, поскольку порождающая их Матрица К"
зависит от tu . . ., tn.
2.3.6. Согласованные ортогональные разложения конечномерных
плотностей. Пусть {fn(xu ¦¦ ¦, хп> П" •••, tn)}- согласованная
Последовательность конечномерных плотностей r-мерной векторной случайной
функции X (/), имеющей моменты всех порядков,
116
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
{PVi Vn (XU • ¦ • " Xn'l • • • > tn), 9v,.Vn (-^ll • •
• > xn' tu ¦ ¦ • I *")}
(я = 1, 2, ...)-согласованные биортонормальные системы полиномов,
соответствующие согласованным конечномерным плотностям wn(хи .. хп; tu
..., tn), имеющим те же моменты первого и второго порядков, что и
случайная функция X (t). Представив каждую конечномерную плотность fn(xu
..хп\ ilt . . ., tn) случайной функции X (t) ортогональным разложением
(39) по полиномам pv,....vn(xi, .. •, х"; tu ..., /"), получим
согласован-
ные ортогональные разложения всех ее конечномерных плотностей:
где коэффициенты cv, vra(^i> tn) определяются на основании (38) и (40)
формулой
Здесь gn(K, ..., Я"; tu tn)-n-мерная характеристическая
функция случайной функции X (t).
Из условия 2) согласованности систем полиномов
и из условия 1) согласованности плотностей /" следует, что
при всех vx, ..., v"_i. После этого из условия 1) согласованности систем
полиномов следует, что интегрированием разложения (47) для плотности /"
по хп получается разложение (47) для плотности /"_!• Отсюда по индукции
следует, что разложения (47) согласованы в том смысле, что
интегрированием разложения (47) для fn по xm+i, ..., хп при любом т
получается разложение (47) Для
/" (Хи tu ¦ ¦ •, tn) = Wn (хи tlt ..., tn) x
x i + 2 2 cVl.....v"(^, ¦ • t")x
k=3 | V, |+ .. . +| Vn \=k
X Pv" . . ., Vn (XU • • • , -^n' ^3 > • * • > tn( I , (47)
cv, Vn(t
^ ' ' S fn (Xu • • • i Xn, ty, . . ¦ , Z'n) X
X <7vi, ..., vn (-^i> • • • > xn\ ty, ¦ • •, tn) dxt ¦ ¦ ¦ dxn
= [?v1 /Ян Ж ЙНЖ • / / w
§ 2.3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПЛОТНОСТЕЙ
117
Из условия 4) согласованности систем полиномов и из равенства *)
После этого из условия 3) и из справедливости формулы (50) для плотностей
wn и следует, что при t" = tn_1 формула
(47) дает выражение (50) для плотности где fn_1 представлена
соответствующим разложением (47). Таким образом, разложения (47)
конечномерных плотностей случайной функции согласованы и в том смысле,
что для них справедлива формула (50), которую также можно рассматривать
как одно из условий согласованности конечномерных распределений.
Ограничиваясь в (47) полиномами не выше .V-й степени, получим
согласованное приближенное представление всех конечномерных распределений
случайной функции X (t). Этим приближенным представлением можно
практически пользоваться, если случайная функция X (t) имеет конечные
моменты до N-rо порядка включительно, независимо от того, существуют или
не существуют ее моменты высших порядков.
2.3.7. Согласованные разложения конечномерных плотностей по полиномам
Эрмита. Взяв в качестве плотностей wn нормальные конечномерные плотности,
определяемые математическим ожиданием т (t) и ковариационной функцией X
(t, t') случайной функции X(t), получим согласованные разложения
конечномерных плотностей случайной функции X (t) по полиномам Эрмита
fП • ¦ • > Хп, . . . , tn)
*)^При tn = tn^i X (tn) = Х {tn_i) и, следовательно, условная плотность
слУчайной величины Xfn при Xfn_1 = xn_1 равна б (хп - *n-i). и из теоремы
умножения плотностей вытекает (50) (ТВ, п. 4.2.2).
вытекает, что
С\ ... Vn_i, vn (^l> • • ¦ > ^n -1* ^п-1) CVl
V)j_i+Vn (^1> • • • > tn-1). (51)
- [(2я)гл | Kn |]_l/i exp
