Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
S=0Z=S4 1 ' 1 S=1 l = s + П '
Наконец, заменив индекс суммирования I индексом p = l - s, перепишем
полученные равенства в виде
со 2s+ 1 со 2s
5! = Х X -pr^2S+2p+l,p> 5з = ХХ п\ ^2S+2p, р-
8=0р=1 И S-1р-1 Р
Здесь все слагаемые внутренней суммы при данном s имеют один и тот же
порядок n-s_1/2 в и n~s в S2. Подставив полу-
§ 2.3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПЛОТНОСТЕЙ ЦЗ
ченные выражения в формулу для f(x), получим
/М =
Г- (r) 25+1 . .. Kq
= S S S qnl ... Ярг\Н^Х~т} +
L s = 0p=l И lv| = 2s+2p+l<7i+... +<J"=V p
P =
ж 2s ¦/." . . X.
¦EE4- E E
p
•**_ 1
(46)
s= 1 p= 1 P' 1 v | = 2s + 2p ?, + . . . + ' ' qp'
В этой формуле каждый член первой суммы по s представляет собой сумму
всех слагаемых порядка n~s~llz, а каждый член второй суммы по s -сумму
всех слагаемых порядка n~s. М
Разложение (46) называется рядом Эджуорта, по имени ученого, впервые
получившего это разложение для скалярной случайной величины [76].
Ряд Эджуорта (46) представляет собой асимптотическое разложение плотности
f (х) относительно я-1. Крамер показал, что в случае скалярной величины X
погрешность конечного отрезка ряда (46) имеет порядок первого
отброшенного члена существующей суммы по s [43].
Применение ряда Эджуорта позволяет включить в отрезок разложения
значительно больше полиномов Эрмита при учете моментов до данного
порядка, чем обычное ортогональное разложение. А именно, учитывая моменты
(или семиинварианты) до N-ro порядка включительно, получим в отрезке ряда
Эджуорта полиномы Эрмита до степени 3N-6 включительно. В результате
повышается точность приближения к истинному распределению. Поэтому рядом
Эджуорта часто пользуются на практике. Это тем более обоснованно, что
большая часть случайных величин, встречающихся в приложениях, относится к
классу величин, которые можно считать суммами большого числа независимых
слагаемых.
Так же, как в случае ортогонального разложения, при аппроксимации
плотности f (х) отрезком f*{x) ряда Эджуорта с учетом моментов до N-yo
порядка, моменты аппроксимирующей функции f*(x) до N-го порядка
включительно совпадают с соответствующими моментами плотности f(x), а
моменты порядка выше 3N-6 определяются из соотношений Gv(p*) = 0. Моменты
же порядков от N -f1 до 3N - 6 получаются из уравнений Gv(p*) = yv. где
yv -сумма всех коэффициентов при Hv(x - m)/(v1l ... \r\) в отрезке ряда
Эджуорта (46). Чтобы убедиться в этом, достаточно умножить отрезок ряда
(46) на Gx(x-т) и проинтегрировать по х. Тогда слева получим GT(p*), а
справа в силу (35) получим ух, причем уг = ст при |v|<|Wt yv = 0 при
|v|>3N-6, а при М < | v|<ЗМ - 6 содержит лишь часть слагаемых выражения
(45) квазимомента cv.
114
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
2.3.5. Согласованные биортогональные системы полиномов. Для
одновременного приближенного представления всех конечномерных
распределений случайной функции целесообразно пользоваться в известном
смысле согласованными биортогональными системами полиномов.
Пусть {wn(xu хп; tu . .., /")}-согласованная последовательность
конечномерных плотностей (п. 2.1.2), где хи ...,*"- r-мерные векторные
переменные. С каждой плотностью wn свяжем биортонормальную систему
полиномов (относительно переменных *1, • • •, хп)
{/X'i vn(Xit Хп, tlt ..., tn), (/г, vn{X2, Xn, /j, /")} ).
Эти полиномы, естественно, будут зависеть от переменных tu t2, ¦ ¦ ¦ как
от параметров, что и отражено в наших обозначениях.
Биортонормальные системы полиномов {рх, v"{xu хп\
11, tn), qVl vn(xu ..., r"; tu ..., tn)} (n = 1, 2, ...)
будем называть согласованными, если они удовлетворяют условиям:
со
1) 5 wn (xlt • • ¦, Хп\ Д, .. ., tn) Pv" .... тДлу, . . ., хп;
- со
tlf tn)dxn = wn_1(x1, . . ., Хп_{, tu . . /"_i)x
X Pv,, . . ., \'n _, (Xj, . • • , Xn _i, 1•••, vn,
где 60i0 = l, 60, vn - 0 при vn Ф- 0;
2) qVl, ..., vn_i, о (xu . . ., xn\ tu . . ., /") =
= qV,....vn-i (Xi< • • ¦, xn_p, ti, • ¦ •, tn_ j),
Vn-l
Pv,, . . ., Vn - i - k, k (Xi, . . ., , ¦ • .,
t n_ i, t n_ i)
k- 0
= Pvi, . . ., Vn_i (-Б, ¦ • • 1 ^n-1> • • ' ' tn-1)>
tfvi, . . ., Vn - i> Vn (Xiy • • - , -Xn - i) П" ' • • *
tn - It tn - l) '
= 9V . . . , Vn-l+Vn (Xi, • • • , W /x, . . . , tn_ i).
П p имечание. Так как полиномы pv и qv определены только с
точностью до взаимно обратных постоянных множителей, то, умножив pv
Vn
на произвольный множитель у Vn и разделив qv v на тот же
множитель, можно заменить условия 3) и 4) условиями:
Vn-1
3 Р\ j, . . ., vn - 1 - k, k (^1* 1" -^n-1" ¦ • •" t n-if t n
- l) ^
& = 0
XVvlt . . . , Vn-l-k, k~~Pv Vn- l ' * ¦ ' Xn~lf ¦ ¦ ' ' tn-l) YVl, . .
. , Vn-l'
4')vVl v"."vA,............ул."уя(*1.....¦¦¦.*"-1. *n-i)=
Vv,, . . . , Vn-l+Vrflvi, Vn-i + Vn^1' ¦ ¦ ¦ ' Д;п-1' . Д-l)-
*) Конечно, предполагается, что для каждой плотности пул существуют все
моменты.
§ 2.3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПЛОТНОСТЕЙ
115
Согласованные в этом смысле биортонормальные системы полиномов
существуют. Примером таких систем могут служить системы полиномов
Р\ vn (-Ч> • • • > Хп, ti, • • • , tп)
