Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
lng(^)-¦ производящей функцией для семиинвариантов (ТВ, пп. 4.5.3,
4.5.4). Подставив в (44) выражение g (к) через семиинварианты,
g(X) = e,n*<*¦> = expX (dl) 1 • • • ^ Г ks\,
Vh=l I s | = ft Si- J
и учитывая, что семиинварианты первого и второго порядков
совпадают соответственно с математическими ожиданиями и элементами
ковариационной матрицы величины X, можем написать
ехр(? ? = i + ?
Vft=3|s|=ft 1 ¦¦¦ r- J k - 3 I V I =k !••••
г'
или
±^[t E |^,;;;Уч]'-Е E
p = l r Lh = 3 | s| = ft r J *= 3 | v| = A
(ftt)Vl ¦ • • UK)
Vj! ... vr!
p = 1 r Lh = 3 | s | =
Отсюда непосредственно видно, что квазимоменты cv третьего, четвертого и
пятого порядков совпадают с соответствующими семиинвариантами,
cv = xv (|v| = 3, 4, 5).
Это следует из того, что разложение в квадратных скобках в левой части
начинается с членов третьей степени, вследствие чего только слагаемое
первой степени р= 1 в левой части может дать члены третьей, четвертой и
пятой степеней. Что же касается членов шестой и более высоких степеней в
левой части, для которых | v | ^ 6, то они присутствуют в слагаемых,
соответ-
§ 2.3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПЛОТНОСТЕЙ
111
ствующих ц ^ [| v |/3]. Поэтому, выполнив возведение выражения в
квадратных скобках в соответствующие степени и собрав члены одинаковых
степеней, получим
[lv 1/3] X X
cv 1 Я\ ' ' ' Яг,
9ll! ••• qPr' (|v| = 6'7' (45)
где <7i = [<7u ••• <7i,]T, <7p = [<7^i ••• ^]т, так же как и v =
= [vj . . . лу]т - r-мерные векторные индексы и внутренняя сумма,
распространяется на все значения qx, ..., qp, ..., \qp\^3,
дающие в сумме вектор v = [vj ... vr]T. Первый член в правой части
формулы (45), соответствующий р= 1, равен щ. М
Совершенно так же, прологарифмировав равенство (44) и разложив логарифм в
правой части в ряд Маклорена, получим выражение семиинвариантов через
квазимоменты.
2.3.4. Ряд Эджуорта. Слагаемые в формуле (45), соответствующие
различным р, часто оказываются различными по величине, причем наибольшее
значение имеют слагаемые, содержащие наибольшее число множителей, т. е.
соответствующие p = [|v|/3], а наименьшее значение имеет первое слагаемое
xv. Чтобы понять это, рассмотрим случай, когда величина X представляет
собой сумму большого числа п независимых случайных величин. В этом случае
все семиинварианты имеют порядок п (семиинварианты суммы независимых
величин равны суммам соответствующих семиинвариантов слагаемых - ТВ, п.
4.5.4). Поэтому первое слагаемое y-v в выражении (45) квазимомента cv
имеет порядок п, в то время как р-е слагаемое имеет порядок пр. Это дает
возможность приближенно вычислять квазимоменты cv, пренебрегая
семиинвариантами высших порядков, в отличие от формулы (43), которая
требует знания момента p,v (а следовательно, и семиинварианта xv) для
вычисления cv. В связи с этим возникает мысль перегруппировать слагаемые
в разложении f (х) по полиномам Эрмита так, чтобы собрать вместе члены
одного порядка относительно п.
> Подставив выражение (45) квазимоментов cv в разложение f (х) по
полиномам Эрмита, получим
_ " Н'31 . х". ... х
f (х) --= wN (х)
'+ISS4 Е Ч-±Н^-т)
?'¦ ¦¦¦ip''
3 lvl=A Р=1 qL+...+qp=V
Оценим порядок полинома Hv(x - т). Для этого заметим, что каждое
дифференцирование в формуле (4) приложения 1 вызывает появление
соответствующей компоненты вектора К~гх в качестве множителя. Но все
элементы матрицы К имеют порядок п, а средние квадратические отклонения
компонент случайного вектора X имеют порядок пг/к Поэтому К~1(х - т)
имеет порядок вследствие чего Ну(х - т) имеет порядок n_(Vl +• • •+vr)/2
112
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
- n-|v|/2_ Таким образом, величина x9i ... Hv(x - m) имеет порядок
пР~к/г. Вследствие этого все слагаемые с одним и тем же значением p - kj2
имеют один и тот же порядок. Чтобы собрать
вместе все члены одного порядка, рассмотрим отдельно
четные
и нечетные значения k и обозначим через сумму всех слагаемых с нечетными
k, а через S2 - сумму всех слагаемых с четными k. Тогда будем иметь
со [(2/+1)/3] ^ оо [2//3] ^
¦Sl = X XI ~п\ ^21+1, pi ^2=Х Х-i ~^^2[,pi
1=1 р=1 F 1=2 р =1
где для краткости положено
X X ^ j ... q*\ Hv (х т)•
1 v l=ft ?,+ ... +qp^v 4 1 Чрг
Величина L2[+1^p имеет порядок п~1~ 1/2 + р, а величина L2Up имеет
порядок п~1+р. Поэтому все слагаемые с одним и тем же значением s=l - p
имеют один и тот же порядок. Чтобы собрать вместе все такие слагаемые,
перейдем от индекса суммирования р к новому индексу s-l - р. В результате
будем иметь
СО /-1
¦^1 = Х X 7T-s) I ^2'+1' i-s>
/=1 s=/-[(2/+l)/3]v '•
оо /-1
52 = Х X (7-s) ' ^П' l~S'
1 = 2 s=/ -[2//3] ''
Изменим порядок суммирования в этих двойных суммах. Имея в виду, что в
силу неравенств I - [(2/ + 1)/3] < s< /- 1 (или / - [2//3]^s^ I- 1) при
фиксированном целом s для I справедливы неравенства s + 1 ^ I ^ 3s + 1
(соответственно s + 1 ^/^3s) и что наименьшее значение s в Sj равно 1 -
[(2-1 + 1)/3] = =0, а в S2 - 1 - [2 -1/3] = 1, получим
а> 3s+ 1 00 3s
|^1' Х" Xi it <л I ^-21+1, г-i) <S2 = Xj X (/ i-s•
