Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
скалярного х определяются рекуррентной формулой
где
со
at = j) xlw (x)dx (Я = 1,2,...)
- со
- моменты плотности w(x).
> Для доказательства заметим, что р0 (х) = 1 и, следовательно,
можно принять <7"(х) = 1. Далее, интегрированием по
частям доказываются формулы
со оо
J xlw(vy (х) dx = 0 при X<v, J xvwm(x)dx-(-1 )v v!,
- со - оо
со
J xxwm(x)dx = (-l)v^^ax_v при 7i>v.
108
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Эти формулы справедливы при условии, что все производные шм (j:) убывают
при [ лс j ->00 настолько быстро, что при любом *.>0
lim xKw<v) (л:) = 0.
\х\-+ ч,
На основании первой из этих формул любой полином степени р ортогонален (с
весом w (х)) ко всем функциям pv (х) при V > р. Поэтому при любом v
достаточно построить полином qv (х), ортогональный К функциям /70(х) = 1,
Рг(х), Pv-l(x)- Положив q1(x) = c1xJrbla, на основании приведенных формул
и условия биортонормальности получаем из (35) при р, v = 0, 1
00
J w(x) p0(x)q,(x)dx = c1a% + bla = 0,
- 00
00
5 w (x) px (x) q1 (x)dx = - cx = 1.
- CO
Отсюда находим сг = -1, bl0 = af. После этого положим q2 (х) = с2х2 + b20
+ b.nqx (х)
и найдем с помощью приведенных формул с2, Ь20 и Ь21 из условий
биортонормальности (35) при v, р = 0, 1, 2: <т2 = 1/2!, b20 = - ccf/2!,
b2i = aT- Предположим, что, продолжая таким образом, мы нашли полиномы
qx(x), ..., ?v.,(x), удовлетворяющие вместе с функциями р^ (х) условию
биортонормальности (35). Положив
v-1
<7v(x) = cvxv+ 2 bvyLqyL (х),
ц = 0
из условий ортогональности qv (х) к р0 (х) = 1, . . ., pv(х) и из условия
(35) при р = v находим cv = (-1 )v/v!, ?vft = (-1)V-M""1X X<."/(v-p)! (p
= 0, 1, v -1). -4
Совершенно так же из степенных одночленов х\1 ... хкп (ku .. kn - 0, 1, .
. .), можно получить полиномы qv (х), удовлетворяющие вместе с функциями
pv (х) = w(v) (x)/w (х) условию биортонормальности (35), в случае я-
мерной векторной переменной х.
2.3.2. Разложение плотности по полиномам Эрмита. Биорто-гональной
системой полиномов, построенной с помощью нормального распределения с
нулевым математическим ожиданием, является система полиномов Эрмита
(#v(x), Gv(x)} (см. приложение 1). Чтобы получить биортонормальную
систему полиномов, соответствующую нормальной плотности с математическим
ожиданием т и ковариационной матрицей К, можно на основании
§ 2.3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПЛОТНОСТЕЙ
109
формулы (6) приложения 1 принять
Pv(*HVli .1. ?vW=Gv(x-m).
Тогда формула (41), приближенно выражающая плотность случайной величины X
с теми же математическим ожиданием т и ковариационной матрицей К, примет
вид
Формула (38), определяющая коэффициенты этого разложения, принимает вид
где Gv (р) - линейная комбинация центральных моментов X, полученная в
результате замены каждого одночлена вида (Хг-m1)hi. . . ¦ ¦¦(Xr-mr)hr
соответствующим моментом рц, hr.
По доказанному в п. 2.3.1 все моменты (как начальные, так и центральные)
функции /* (х), аппроксимирующей плотность / (х), до порядка N
включительно совпадают с соответствующими моментами плотности f(x), а
моменты высших порядков функции /* (х) выражаются через моменты до
порядка N из соотношений
где звездочкой отмечены моменты функции f*(x).
Коэффициенты^ при Hv(x-m)/^!. . ,vr!) в разложении плотности f(x) по
полиномам Эрмита называются квазимоментами случайной величины X. Число |
v | = vx -ф . . . -ф vr называется порядком квазимомента cv. Согласно
(43) квазимомент порядка k представляет собой линейную комбинацию
центральных моментов до порядка k включительно.
2.3.3. Связь между квазимоментами и семиинвариантами. Чтобы выразить
квазимоменты случайной величины через ее семиинварианты, можно, конечно,
подставить в формулу (43) выражения Центральных моментов через
семиинварианты (ТВ, п. 4.5.4). Однако это ведет к цели по пути очень
сложных и громоздких выкладок. Поэтому мы попытаемся непосредственно
выразить квазимоменты cv через семиинварианты.
> Пусть X - r-мерный случайный вектор с математическим ожиданием т,
ковариационной матрицей К и плотностью f(x). Положим в формуле (2)
приложения 1 для производящей функции Цолиномов Эрмита Gv (х),
соответствующих этому случайному
N
Cv^v (ж - т) vx! ... vr\
k = 3 | v \=-k
00
^ f(x)Gv(x-т) dx - MGV (X-m) = GV (p.), (43)
- 00
Gv (a*) = 0 при | v | > N,
по
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
вектору, u = ik и заменим х величиной х-т. Тогда, учитывая, что (мт -
тТ)к = кТ(х-т), будем иметь
ехр {йт (х-т) + j- к'Кк} = V (>я,1> j '' ' ^ г Gv (х-т),
где суммирование производится по всем неотрицательным значе-
ниям vx, ..., vr, a v = [v! . . . v,.]T. Умножив это равенство на
плотность f(x) случайного вектора X и проинтегрировав по х, на основании
(43) получим
e-aW/a/*g(b) = l+? ? -v'" У' gv, (44)
3 | v t= fe l- ¦ • r-
где g (к)- характеристическая функция величины X. Таким образом, e~iX т+х
KX/2g(k) как функция ik служит производящей функцией для квазимоментов,
совершенно так же как g'(X) служит производящей функцией для начальных
моментов, mg(k)- производящей функцией для центральных моментов, a
