Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
I У w(x)
-/(*)j dx
CVPV W
i+L E
fe=3 | v\=k
1+t L
k = 3 \v [= к n
*=3 Iv|= k
f(x)
V w (x)
j. dx
)
f(x)
\2
-1 dx*
VW (x) j
f(x)
V~w(x) j
dx
0.
Таким образом, частичные суммы ряда (39) дают аппроксимацию
распределения, определяемого плотностью f(x), с любой степенью точности.
Примерами полных последовательностей функций в соответствующих
пространствах L2(Rr) могут служить последовательности функций Эрмита
(приложение 1).
Формула (39) определяет ортогональное разложение плотности f(x). Конечным
отрезком этого разложения можно практически пользоваться для
приближенного представления f (х) даже в тех случаях, когда f{x) не имеет
моментов выше некоторого порядка. В этом случае достаточно заменить
распределение f (х) усеченным распределением
/а (*) = /(*) 1 D(x)jlf(x)dx,
D
аппроксимирующим f(x) с достаточной точностью, и затем аппроксимировать
fD(x) отрезком ряда (39). При этом конечный отрезок ряда (39) может быть
функцией, принимающей малые отрицательные значения при некоторых х, и тем
не менее дающей хорошее приближение к f(x).
Ограничиваясь в (39) полиномами не выше (V-й степени, получим
приближенную формулу для плотности f(x):
N
f{x)ttf*(x) = w(x) 1+2 2 Суру{х) . (41)
L k=z ivi=& J
Функция f*(x), аппроксимирующая плотность f(x), в силу (38) полностью
определяется моментами случайной величины до N-ro порядка включительно.
При этом моменты функции f*(x) до N-то порядка включительно совпадают с
соответствующими моментами величины X. Действительно, умножив последнее
равенство (41) на <7jj. (лг) и принимая во внимание (35) и (38), получаем
S f*(x)qll(x)dx = cll = qll(a)
106
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
при |p|^;V. Таким образом, математические ожидания всех полиномов qv (X)
не выше Аг-й степени, вычисленные с помощью аппроксимирующей функции
f*{x), совпадают с математическими ожиданиями соответствующих полиномов
qv (X), вычисленными с помощью истинной плотности f(x). А так как
полиномы qv (х) любой данной степени k линейно независимы и число их
совпадает с числом моментов k-ro порядка, то из совпадения математических
ожиданий полиномов qv (X) следует и совпадение моментов функции /* (х) и
плотности / (х) до N-ro порядка включительно. Обозначив моменты
аппроксимирующей функции f*(x) через а,.,, кг и \ikl kr, можем записать
полученный результат в виде
кг = kr> М-А-1..кг = Ну.....кг ПРИ ^1+ ¦ • • +&/¦ ^ А *).
Что касается моментов высших порядков аппроксимирующей функции f*(x), то
они выражаются через моменты до N-го порядка включительно из уравнений
qjX( а*) = 0 при |р|>Аг.
Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что в силу (41),
(38) и (35)
<Ю
</и(а*)= $ /*(*)<7цМ<Д=0, Ы>Х.
- 00
Для дальнейшего нам понадобятся еще формулы, выражающие моменты случайной
величины X до А^-го порядка через коэффициенты приближенного выражения
(41) ее плотности.
> Умножив (41) на хк'. . .хкг, интегрируя по хг, . . ., хг и учитывая,
что по доказанному моменты аппроксимирующей функции /* (х) до N-го
порядка совпадают с соответствующими моментами величины X, получаем
N
kr ~ ....кг "Ь ^2 ^ 2 ПРу, ki, . . кг ((r)ТО)
(klt ..., /гг = 0, 1, ..., X', + . . . -ф kr = 3, ..., N), (42)
где индексом w отмечены моменты плотности w(x),
Pv, ky, . . ., кг (^0 ~ -4 ' ' • ¦Ч Pv (-^) J
a Pv.ky....kr(aW) получается из pVi kl kr(x), так же как qv(a)
из qv(x) в (38) (т. е. заменой всех одночленов xkl. . .xh/
соответ-
ствующими моментами я(tm), нг плотности w(x)). М
*) Из совпадения начальных моментов f* (х) и f (х) до jV-го порядка в
силу известных соотношений между начальными и центральными моментами (7В,
п.3.5.1) следует и совпадение центральных моментов до jV-to порядка.
§2.3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПЛОТНОСТЕЙ
107
Формула (42) дает выражения моментов величины X до N-го порядка
включительно через моменты плотности w (х) и коэффициенты приближенного
представления f* (х) плотности f(x) величины X.
Заметим, что pv(x) и qv(x) не обязательно должны быть полиномами. Они
могут быть любыми функциями, удовлетворяющими условию биортонормальности
(35) и условию существования всех интегралов (38). Все сказанное о
разложении (39) справедливо и в этом более общем случае. Однако если
функции qv (х) не являются полиномами, то, несмотря на совпадение
моментов первого и второго порядков распределений w(x) и /(х),
коэффициенты cv не будут равны нулю при |v| = l и 2, вследствие чего
суммирование по k в (39) будет начинаться с k=l.
В приложениях иногда применяется разложение по производным некоторой
плотности w(x), имеющей производные и моменты всех порядков:
СО
/(х) = 2 CVW<V) (х).
V- О
Здесь в случае n-мерного векторного х = [xj. . .х"]т v представляет собой
вектор той же размерности v= [vj. . . vn]T, производная w(V) (х)
понимается как частная производная divlw(x)/dxi'. . . дххпп, а
суммирование производится по всем координатам вектора v от 0 до оо. В
этом случае
pv (x) = w(v> (x)/w (х),
а функции qv (х) представляют собой полиномы. Эти полиномы в случае
