Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично определяются семиинварианты случайной функции как
семиинварианты ее конечномерных распределений (ТВ, п. 4.5.4).
§ 2.3. Ортогональные разложения конечномерных плотностей случайной
функции
2.3.1. Ортогональное разложение плотности. Пусть w(x)- некоторая
плотность в г-мерном пространстве Rr, для которой существуют все моменты.
Система пар полиномов pv(x), qv(x) (v = 0,1,2, ...) называется
биортонормальной с весом w(x), 'если
г I 0 при p^v,
J w(x)Pv(x)qil(x)dx = 8vtl= у ] ^ ц = ^ (35)
Система пар полиномов pv(x), qv(x) (v = 0,1,2, ...1 называется
биортогональной, если условие (35) выполнено только при p=/=v. Всякая
биортогональная система пар полиномов {pv(x), qv(x)} может быть сделана
биортонормальной путем деления полиномов pv(x), qv(x) соответственно на
множители av, Pv, произведение которых равно интегралу (35) при
соответствующем v и p = v. Очевидно, что при каждом v один из множителей
ay, |3V может быть выбран произвольно.
В частном случае, когда qv(x) = pv(x) (v = 0,1,2, ...), условие (35)
принимает вид 00
5 w(x)pv(x)p^(x)dx = 8vll. (36)
- 00
В этом случае система полиномов {ру(х)} ортонормальна, если она
удовлетворяет условию (36) при всех v, р, и ортогональна, если она
удовлетворяет условию (36) только при p=/=v. Всякая ортогональная система
полиномов {ру(х)} может быть нормирована путем деления ру(х) на корень
квадратный из интеграла (36) при соответствующем v и p = v.
§ 2.3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПЛОТНОСТЕЙ
103
Очевидно, что существование всех моментов для плотности w (х) необходимо
и достаточно для существования всех интегралов (35) и (36).
Для удобства целесообразно пользоваться векторной нумерацией полиномов
pv(x), qv (х) так, чтобы сумма координат | v | = Vj + . . . + vr
векторного индекса v = [\у ... vr]T была равна степени полиномов pv(x) и
qv(x). Тогда число линейно независимых полиномов данной степени m = |v|
будет равно числу независимых одночленов степени т, т. е. С- = (r + m-
l)!/[m!(r-1)!]. Очевидно, что векторная нумерация всегда может быть
заменена обычной *).
> Пусть f(х)-плотность некоторого /-мерного случайного вектора X, для
которого существуют моменты всех порядков. Попытаемся представить
плотность / (х) разложением
СО
f(x)=w(x) 2 cvpv(x). (37)
v, vr-0
Для определения коэффициентов cv разложения (37) умножим
(37) почленно на q^(x) и проинтегрируем по всему г-мерному пространству
Rr. В результате, учитывая (35), будем иметь
^ f(x)qll(x)dx= 2 cv ^ w(x) py(x)qv.(x)dx = cVL.
V....vr = 0
Следовательно,
00
cv= ^ f(x)qv(x)dx = Mqv(X) = qv(a), (38)
- 00
где qv (а) представляет собой линейную комбинацию моментов случайной
величины X, полученную из qv (х) заменой всех одночленов хкх'. . .хк/
соответствующими моментами ак1, ..kr- Таким образом, все коэффициенты cv
разложения (37) выражаются через моменты случайного вектора X. При этом в
силу того, что вследствие (35) р0 (х) и q0 (х) - взаимно обратные
постоянные (полиномы нулевой степени), всегда с0р0(х) = 1.
Плотность w(x) для построения разложения (37) удобно выбирать так, чтобы
ее моменты первого и второго порядков совпадали с соответствующими
моментами плотности f (х) (случайного вектора X). Тогда для всех
полиномов qv(x) первой и
*) В случае векторных индексов v и ц величина 6Vn в (35) представляет
собой единицу при n = v и нуль, если хотя бы одна из координат векторного
индекса ц не совпадает с соответствующей координатой вектор-ного индекса
v.
104
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
второй степеней (| v | = + ... + vr = 1, 2) будем иметь в силу
(35)
оо оо
S / (*) Qv (*) dx- ^ w (х) qv (л:) dx =
• 00 - 00
00
= i w(x)Po(x)qv(x)dx = 0.
cv =
Вследствие этого разложение (37) примет вид
00
f(x)=w(x) 1+2 2 CvPv М
[_ *=з | v \-k
(39)
В некоторых случаях удобно выразить коэффициенты cv в (39) не через
моменты случайного вектора X, как в (38), а через его характеристическую
функцию. Имея в виду, что любой момент вектора X получается
дифференцированием его характеристической функции ?(?1) по
соответствующим координатам вектора iX и последующим приравниванием X
нулю (ТВ, п. 4.5.3), можем представить формулу (38) в виде
cv = [qv(dJidX)g(X)]},=о- М
(40)
Формула (39), как и (37), дает разложение функции f {x)l\rw (х) по
единичным векторам {}^w(х) pv (х)} функционального пространства Lz(Rr),
образующим вместе с векторами {У w(x) qv(x)} биортонормальную систему
векторов. На основании общих теорем функционального анализа разложение
(37) функции f(x)!\rw(x) сходится в среднем квадратическом к / (х)!Уw(x)>
т- е-
при п ¦
{-ЩЦ-к-йч
J V w{x)
- (r) V
со, если
1+2 2,
к=Ъ | v\-k
Г (X) w(x)
dx < оо
и последовательность функций {У w (х) pv (х)} полна в Li(Rr) [3]. В этом
случае
§2.3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПЛОТНОСТЕЙ
105
равномерно относительно А при п-Коши - Буняковского
оо, поскольку в силу неравенства
1.+ 2 2 w
k=3Iv\=k
r ( r____________
Vw (X) | Vw (X)
A К
^ w{x) dx^ j У w (x)
A A 1.
( _______
