Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Х°(^)=Х(^)-mx{t). Иными словами, ковариационным оператором случайной
функции X(t) называется интегральный оператор, ядром которого служит ее
ковариационная функция:
Хл-Ф = J Kx(s, t)(p{t)dt.
Оператор момента второго порядка и, в частности, ковариационный оператор
r-мерной векторной случайной функции Х(^) ставят в соответствие любой r-
мерной векторной функции ф(0 с той же областью определения Т r-мерную
векторную функцию ф(я) = Гхф (ф(5)-Х*ф), s?T.
Совершенно так же определяются взаимный оператор момента второго порядка
и взаимный ковариационный оператор двух случайных функций Х(() и У{t).
2.2.11. Свойства моментов второго порядка. Из определения момента
второго порядка (22) следует, что при перестановке аргументов tu t2
момент второго порядка переходит в транспонированную матрицу с
сопряженными комплексными элементами (в эрмитовски сопряженную матрицу):
ГX{U, ty = Tx{tly t2)*. (26)
100
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Действительно,
Г, (*" tx) = MX (U) X (t.y = [MX (tj X (*2)*]* =
= [^х(^)Х(от = гж(^1, Q*=rx(tu t.2y.
В частности, для действительной случайной функции X(t) при перестановке
аргументов tlt t2 момент второго порядка переходит в транспонированную
матрицу
В частном случае скалярной случайной функции момент второго порядка при
перестановке аргументов переходит в комплексную сопряженную величину,
Г*(/2, ^1) = ГЖ(^1, t2). Для скалярной действительной случайной функции
момент второго порядка не изменяется при перестановке аргументов, т. е.
представляет собой симметричную функцию двух переменных,
Второе характерное свойство момента второго порядка случайной функции
состоит в том, что для любого конечного набора значений аргумента tu ...,
и комплексных векторов
ult ..., мл той же размерности, что и случайная функция X(t),
Функции двух переменных, обладающие свойством (28), называются
неотрицательно определенными. Таким образом, момент второго порядка
случайной функции является неотрицательно определенной функцией.
Ковариационная функция как момент второго порядка центрированной
случайной функции обладает всеми свойствами моментов второго порядка.
Таким образом, ковариационная функция случайной функции представляет
собой неотрицательно определенную функцию двух переменных, которая
переходит при перестановке аргументов в эрмитовски сопряженную матричную
функцию (т. е. транспонируется с заменой всех комплексных элементов
сопряженными).
Можно доказать, что всякая функция двух переменных, обладающая этими
двумя свойствами, может быть ковариационной
Гх(*г, /1) = Г*(/1, t2y.
(27)
Tx(t2, tt) - Гж(/ц t2).
2 ulTx(tp, tQ)u9> 0.
p, <7=1
(28)
Действительно,
N
*) Для любых матриц-столбцов а, b в одной и той же размерности п
aTt = 6Ta = 2flA-
§ 2.2. МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
101
функцией, а следовательно, и моментом второго порядка некоторой случайной
функции.
Взаимный момент второго порядка случайных функций при перестановке
аргументов с одновременным изменением порядка этих случайных функций
переходит в эрмитовски сопряженную матричную функцию:
гцх&, Ъ) = Тхц(Ц, Ц)*. (29)
2.2.12. Моменты высших порядков. Комплексные случайные величины и
функции удобны, только когда рассматриваются их моменты первого и второго
порядков. Во всех остальных задачах целесообразно изучать только
действительные случайные величины и функции. В соответствии с этим
моменты выше второго порядка обычно определяются только для
действительных случайных величин и функций.
Момент порядка п скалярной случайной функции X (t) определяется формулой
an(tlt ..., tn) = MX(t1) ...X(tn). (30)
Центральный момент порядка п случайной функции X (t) определяется
формулой
ц"(*1, .. , /п) = МХ"(/1) ... *"(/"). (311
Момент п-то порядка случайной функции X (/) выражается через ее n-мерную
плотность формулой
со со
M^i, ••¦,0=5 • • • 5 ^ • • • хпх
- 00 со
х fn (хи . . ., хп; tlt tn) dx-, . .. dxn. (32)
Аналогичной формулой определяется центральный момент порядка п случайной
функции X (/):
со со
МО .... 0= 5 ••• 5 [*1 -/МО] ... [Хп-mx(tn)]x
- со - со
X fn(x1 Хп', tu ..., tJdXi ... dxn. (33)
Если задано n-мерное распределение случайной функции X (/), то, как мы
видели в п. 2.1.2, тем самым определены все ее распределения меньших
размерностей, а следовательно, определены и все моменты случайной функции
до n-го порядка включительно. Таким образом, задание n-мерного
распределения случайной Функции достаточно для определения всех ее
моментов до порядка п включительно.
Совершенно так же определяются смешанные моменты нескольких случайных
функций. Смешанный момент порядка
102
ГЛ 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
/у + . . . + г" случайных функций Хх(/), . . Xn(t) определяется формулой
"о rn{t?, *<;>, /г, /?>) =
= м [х, (/">)... х, (/<;))... х" (/<")... х (/<"))]. (34)
Аналогичной формулой определяются смешанные центральные моменты
нескольких случайных функций.
Из формул (30), (31) и (34) легко выводятся соотношения между начальными
и центральными моментами случайных функций.
