Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
функций X(t) и Y (t) соответственно, axp(t)-
= УГЩГ) = У Kxpp(t, t), оуу) = УЩЩ = Укм*, t) (/7=1 я;
q= 1, . . ., tn) *).
2.2.8. Нормально распределенные случайные функции. Как уже
было сказано в п. 2.1.4, конечномерные распределения случайной функции
однозначно определяют распределение случайной функции в соответствующем
пространстве функций (функциональном пространстве). Естественно считать
это распределение нормальным, если все порождающие его конечномерные
распределения нормальны. Таким образом, мы приходим к следующему
определению.
Случайная функция называется нормально распределенной, если все ее
конечномерные распределения нормальны.
В общем случае нормальное распределение удобно определять
характеристической функцией. Вспомнив формулу для характеристической
функции нормального распределения (ТВ, п. 4.5.1), получим для
конечномерных распределений нормально распределенной случайной функции X
(t) формулу
gt" ...,tn(K, >^) = ехр - (п = 1,2, . ..), (20)
где
К = [Xj}i . . . ЭДТ, тп = К (*i)T тх (UY ... тх (^)т]т,
~КХ (tu h) Кх (tu t2) ... кх (tu tny Kx(t*. ti) Kx(t" tt) ... Kx(tt, tn)
Kn=
LKx(tn, C) Kx(tn, t2) ... **(/", /").
Формула (20) верна как для скалярной, так и для векторной случайной
функции X (t). В последнем случае матрицы-столбцы К и тп и матрицу Кп
следует понимать как блочные матрицы.
Если все матрицы /(" - невырожденные, то можно также определить
нормальное распределение случайной функции с помощью конечномерных
плотностей (ТВ, п. 4.4.3)
f п (-^1* • • • " ti, . . . , t п) -
= [(2я)п|/С"|]-'/2ехр |- - тгп) Кп1 (ип -тп)^ (я=1,2, ...),
(21)
где в дополнение к предыдущим обозначениям "" = [xlx%. . .х?]т.
*) В случае когда функции Kx(ti, t2) и Kxy(ti, t2) называются
корреляционными, функции Rx (tlt t2) и Rxy (tlt 12) называются нормиро-
ванной корреляционной функцией случайной функции X (/) и нормированной
взаимной корреляционной функцией случайных функций X (t) и У (t).
98
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Пр имер II. Рассмотрим предельный случай задачи примера 2, когда
существуют все моменты импульсов ar - MArk (г= 1,2, ...), плотность
импульсов |i (t) неограниченно возрастает, а интенсивность каждого
отдельного импульса стремится к нулю, но так, что при этом произведение
а2р (t) остается неизменным. При этом будем считать, что математическое
ожидание величины каждого импульса АА равно нулю, ai = 0, а распределение
величины каждого импульса остается неизменным. На основании центральной
предельной теоремы распределение случайной функции X (t) будет при этом
стремиться к нормальному. Этот же результат следует из формулы (7). Чтобы
доказать это, предположим, что распределение импульсов характеризуется
плотностью
f (а) = hip (ha), (t) = v (t).
Тогда получим
ar- § arf (a)da - h ^ arip(ha) da = ^- j
У г
hr
W = (r = 3, 4, ...).
При h -> оо все моменты случайной величины импульсов будут стремиться к
нулю, а их средняя плотность р (t) будет возрастать пропорционально Л2.
При этом распределение величины импульсов (т. е. форма кривой
распределения) будет оставаться неизменным.
Разложив в формуле (7) характеристическую функцию величины импульса ga
(X) в ряд Маклорена с учетом того, что -'rg(ar)(0)-аг, получим
max (/,, . ... in)
г п
ln?/,./"(*-1. Х")=Х,. -^Г j ^Xpw(tp,x)
ta LP=i
г- 1
[p (т) dr.
Подставив сюда полученное выражение величины а.г р (т) и учитывая, что
а2|х (т) = v (т), агр (т) ¦-* 0 при h->-оо, получим в пределе
п mill lip. tq)
1п ви ...д")= - ~ ^ § V (x)w(tp, x)w(tg, x)dx.
p. 9=1 to
Сравнив эту формулу с (20), видим, что случайная функция X (t) в
рассматриваемом предельном случае распределена нормально.
Рассмотренная задача дает пример теоретического определения распределения
случайной функции на основании анализа соответствующего физического
явления.
2.2.9. Начальные моменты второго порядка. Ковариационная функция
представляет собой центральный момент второго порядка случайной функции.
Начальным моментом второго порядка Гх(^, t2) случайной функции X (t)
называется взаимный начальный момент второго порядка ее значений Xt, Xtj
при произвольных tlf t2, рассматриваемый как функция tlf t2(zT:
Гx(tu и) = МХ(^)Х{^)\ (22)
§2.2. МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
99
Подставив в (22) выражение X (С) = mx(tyХ° {ty и имея в виду, что
(С) X {ty* = MX0 (U) [mx {ty* + X" (*2)*] =
= MX"{tyX°{ty* = Kx{h, h),
получим
Tx{tly C) = X*(C, ty + mx{t1)mx{t2y. (23)
Аналогично определяется взаимный момент второго порядка двух случайных
функций X (() и Y (t):
Txu(t1,tt) = MX(t1)Y(tiy (24)
и выводится формула
ГXl){tu t2) = Kxy(t1, t2) + mx(t1)mu(t2y. (25)
2.2.10. Операторы моментов второго порядка. Оператором момента второго
порядка случайной функции X (^) называется интегральный оператор, ядром
которого служит ее момент второго порядка:
Г*Ф= \ r*(s. t)y{t)dt, т
где Т - область определения случайной функции X (t).
Ковариационным оператором случайной функции X (t) называется оператор
момента второго порядка соответствующей центрированной случайной функции
