Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
случай а оо. В результате, поскольку ае~а\ I 26 (П -t2), получим белый
шум как предел бесконечно плотной последовательности бесконечно малых
импульсов. Практически случайную функцию примера 5 можно считать белым
шумом при достаточно большом а.
Пример 10. Найдем ковариационную функцию случайной функции
К (0 = 6/(a - t'A) eiAi,
где U и Л - независимые случайные величины, /лв = 0, Da=D, а Л
распределена по закону Коши
Математическое ожидание случайной функции V (/) равно нулю. Поэтому "по
теореме умножения математических ожиданий
Kv (П, t2) = м I и I2 (а2 + Л2) eiA -'¦> =
Da
|ГМЧ *2' =
так как (ТВ, приложение 1)
DM (<х2 + Лг)егл(/,_<1) = -^- \ eiWl~h) dl = 2Dab(ti- t2),
§ 2.2. МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
95
Таким образом, рассматриваемая случайная функция представляет собой белый
шум интенсивности 2Da. Этот белый шум - обычная случайная функция, все
реализации которой представляют собой гармонические колебания.
Приведенные примеры показывают, что понятию белого шума соответствуют
совершенно различные математические и физические модели. В примере 8
белый шум представляет собой пуас-соновскую последовательность б-функций,
т. е. является обобщенной случайной функцией *). В примере 9 белый шум
пред-' ставляет собой случайную функцию, значения которой при сколь-
угодно близких значениях аргумента независимы. Реализации такой случайной
функции невозможно себе представить. Они могут совершать сколь угодно
большое число как угодно больших колебаний на сколь угодно малом
интервале. По существу эти реализации не имеют определенных значений ни
при каком значении аргумента. Поэтому случайная функция примера 9 тоже
относится к обобщенным случайным функциям (п. 2.4.9). Белый шум примера
10 представляет собой обычную случайную функцию с непрерывными
реализациями.
2.2.6. Взаимная ковариационная функция векторных случайных функций. Пусть
X (t) и Y (t) - векторные случайные функции (которые могут иметь разные
размерности).
Взаимной ковариационной функцией случайных функций X (i) и Y(t)
называется взаимная ковариационная матрица их значений Xt , Yt при
значениях tu t.2 аргумента t, рассматриваемая как функция tu t,?T:
Kxj(tu t1) = MX"(t1)Y°(ts)*. (18)
Для действительных случайных функций X(t), Y (t) эта формула имеет вид
Кх;1(ф, tt) = MX°(t1)Y°(Ly. (19)
2.2.7. Корреляционные функции. Так же как для конечномерных случайных
векторов наряду с ковариационными матрицами вводят корреляционные
матрицы, для случайных функций, кроме ковариационных функций, вводят
корреляционные функции.
Корреляционной функцией скалярной случайной функции X (t) называется
коэффициент корреляции ее значений Xti, Xti при двух значениях tu i2
аргумента t, рассматриваемый как функция tu t2?T.
На основании определения коэффициента корреляции (ТВ, п. 3.2.2) и формулы
(16) корреляционная функция Rx(tlt t2) случайной функции X (t) выражается
через ее ковариационную
*) Все ее реализации являются обобщенными функциями (ТВ, приложение 1).
'96
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
функцию Кх (ti, t2) формулой
RAtu t2)--^AhAA
Кх (tu t2)
VDx (tj) Dx (t2) vKx (tu h) Kx (t2, t2) •
Взаимной корреляционной функцией случайных функций X (t) и Y (t)
называется коэффициент корреляции их значений Xti, Yt, •при значениях t2
аргумента t, рассматриваемый как функция tu t2^T:
Кху (^1> Кху (tl< t2)___
VDx\(ti)lDy](t2) ~ vКх (tu h) Ку (tu t2)'
Корреляционной функцией п-мерной векторной случайной функции Х(/) =
[Хх(^) . ..Х"(^)]т называется матрица, элементами которой служат
корреляционные и взаимные корреляционные •функции компонент X1{t), . ..,
Xn(t) случайной функции X(t):
(ti> t2) Rn(ti, t2) ... Rin(ti, t2)
R%i.(tu 12) R22(t\, 12) ... R2n(t\< 12)
-Rmitu t2) Rn2 (tu 12) ... Rnn Ци ti)_
где Rpp(tu t2) - корреляционная функция случайной функции Xp(t), a Rpq(tu
t2) - взаимная корреляционная функция случайных функций Xp{t) и Xq(t) (р,
q- 1, ..., п).
Корреляционная функция векторной случайной функции X (t) выражается через
ее ковариационную функцию формулой
Rx(tu t2) = ox{t1)~1Kx(tu t2)ox{t2)~\
где ox(t) - диагональная матрица, элементами которой служат средние
квадратические отклонения op(t) компонент случайной функции X(t), ap(t) =
VDp{t) = VKpp{t, t) (/> = 1, ..., п).
Взаимной корреляционной функцией п-мерной векторной случайной функции X
(t) и т-мерной векторной случайной функции Y (t) называется матрица,
элементами которой служат взаимные корреляционные функции всех их
компонент:
RX 7 (^1> t2) :
Riiitu Q ... RxMtu t2) Rxnhtи Q RxnUtu't2).
где Rpyq{tly t2) - взаимная корреляционная функция случайных •функций Xp
\t) и Yq{t) {р = 1, . . ., п\ q = 1, . . ., т).
Взаимная корреляционная функция случайных функций X(t) и Y (t) выражается
через их ковариационные и взаимную ковариационную функции формулой
Rxy(tu t*) = vx(ti)~1 Kx,{tu и)аи(и)~1,
§2.2. МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
97
где ax(t) и <тг/(i) - диагональные матрицы, элементами которых служат
средние квадратические отклонения ox(t) и ст^(^) компонент случайных
