Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
. A rj 1 (^ 1. t2) Kn2(h, t2) ••• Knn(t i> ^г)_
(14)
где
Khl(tu tt) = MXQh(U) X\{U) (A, /=1, n), (15)
a X°k(t) = Xk(t) - mk(t), mk (t) = MXk (t) (k=l, ..., n).
Представив векторную случайную функцию X (t) в виде матрицы-столбца, X(t)
= [Х1 (t). . .Xn(t)Y, можем переписать определение (14), (15)
ковариационной функции в виде
Kx{tuti) = MX\{t1)\X'{t2y, (16)
где звездочка означает транспонирование матрицы с заменой всех ее
комплексных элементов соответствующими сопряженными величинами. В частном
случае действительной случайной функции Х(1) формула (16) принимает вид
КАК, ^) = МХ"{^)\Х%иу.\ (17)
Таким образом, ковариационная функция векторной случайной функции X (/)
представляет собой взаимную ковариационную матрицу ее значений Xti, Х^2
при значениях Zy, Z2 аргумента t, рассматриваемую как функция tu t2?T
(ТВ, п. 3.3.2).
2.2.5. Белый шум. Большое значение для приложений имеет особый вид
случайных функций, у которых ковариационная функция содержит множителем
6-функцию.
Случайная функция X (t) с нулевым математическим . ожиданием и
ковариационной функцией, содержащей множителем
§ 2.2. .МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
93
6-функцию,
т* (0 = 0, Кх (О, 0) = v(0)6(0 -0).
называется белым шумом*). Множитель v(0 при 6-функции называется
интенсивностью белого шума X (t).
Интенсивность скалярного белого шума существенно положительна.
Интенсивность векторного белого шума представляет собой неотрицательно
определенную симметричную матрицу (п. 2.4.8).
Очевидно, что дисперсия белого шума бесконечна, а его значения в двух
сколь угодно близких точках не коррелированы.
В основе понятия белого шума лежат физические представления, связанные с
быстро изменяющимися величинами, значения которых, разделенные очень
малыми промежутками времени, практически независимы. Мы увидим в п.
4.2.6, что при разложении таких случайных функций на элементарные
гармонические, колебания гармоники всех частот оказываются одинаковыми по
интенсивности. Эта аналогия с белым светом и послужила причиной того, что
такие случайные функции называются белыми шумами.
Белый шум в чистом виде не может существовать физически. Для его
реализации необходима бесконечная мощность, так как изменение такой
случайной функции на сколь угодно малом промежутке времени может быть как
угодно большим. Поэтому понятие белого шума является математической
абстракцией, удобной для построения теории. Практически же можно говорить
лишь о большей или меньшей степени приближения к белому шуму, о том, что
минимальный промежуток времени, разделяющий значения случайной функции,
которые можно считать практически некоррелированными, достаточно мал для
того, чтобы его можно было не учитывать.
Для решения практических задач часто целесообразно заменять случайную
функцию белым шумом. На основании сказанного это можно сделать только в
том случае, когда наименьший интервал между значениями аргумента, при
котором значения случайной функции практически не коррелированы,
называемый обычно интервалом корреляции, достаточно мал. Если величину
\Kx(tu UWxVu h) Для скалярной случайной функции X (I) можно считать
практически равной нулю при 111 -12 | > тк и величина тк достаточно мала,
то случайную функцию X (t) можно считать белым шумом интенсивности
CD
v(0= s t + %)d%.
*) Ввиду того что 6(/i - /а) = 0 при /i Ф t2, множитель v (?i) может быть
заменен множителем v (/2) или симметричным множителем V V(fi )v(/2).
¦94
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Ясно, что понятие интервала корреляции не является точным математическим.
Это чисто практическая мера близости случайной функции к белому шуму.
Практически для скалярной случайной функции X (t) интервал корреляции
определяется формулой
т -max С dx
тк- 2 max \ ^ их.
- со
Чем меньше интервал корреляции, тем с большим основанием можно считать
случайную функцию белым шумом. Векторную случайную функцию можно считать
белым шумом, если все ее компоненты допустимо принять за белые шумы. При
этом интенсивность v(/) векторного белого шума определяется той же
формулой, что и для скалярной случайной функции.
Пример 8. Рассмотрим флуктуации напряжения на входе цепи примеров 2 и 4.
На основании формулы (1.6) весовая функция для входного сигнала (для
передачи от входа к тому же входу) представляет собой 6-функцию b{t-т).
Положив в формулах для тх (tj и Kx(t\, t2) примера 4 w(t, x) = b(t-т),
получим
mx(t) = a1\i(t), Kx(ti, t2)r=a2\x(t)6(t1 - t2).
Мы видим, что центрированная случайная функция на входе цепи представляет
собой белый шум с переменной интенсивностью v (/) = а2р (/)•
Если в формуле (I) перейти к пределу при Т ->¦ 0, то получим в правой
части с точностью до постоянного множителя 6-функцию. Таким образом,
центрированная случайная функция X (t) на выходе PC-цепочки стремится в
пределе к белому шуму, если постоянная времени Т стремится к нулю.
В данном случае белый шум представляет собой пуассоновский поток •6-
импульсов случайной величины.
Пример 9. Положив в формуле (III) примера 5 D = ka, рассмотрим предельный
