Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
скачком изменяет свое значение в случайные моменты времени, образующие
пуассоновский поток интенсивности ", а в промежутках между этими
моментами времени сохраняет неизменные значения, представляющие собой
независимые случайные величины, имеющие равные нулю математические
ожидания и одну и ту же дисперсию D.
Очевидно, что в данном случае mx(t)^ 0 и поэтому Kx(t 1, ^2) = = MX (П) X
(t2). Для вычисления математического ожидания в этой формуле введем
вспомогательную случайную величину Y, принимающую значение 0, если в
интервале времени (Ч, t2) случайная функция X (t) постоянна, и значение
1, если в интервале (t\, t2) есть хотя бы одна точка изменения значения
случайной функции X (t). Число точек изменения значения случайной функции
X (t), попадающих в интервал (П, tz), распределено по закону Пуассона.
Поэтому вероятности значений 0 и 1 случайной величины Y равны
Р (У = 0) = e~a| Р (F= 1)= 1 - I.
Следовательно, плотность случайной величины Y определяется формулой (ТВ,
п. 2.3.1)
= 8(у)+ I) б(у-1).
Применяя для вычисления математического ожидания формулу полного
математического ожидания, получим
Kx(tu h)=MX(t1)X (t2) = M [М [X (П)*(г2)1П] =
00
= 5 M(X(h)X(t2)\y)!(y)dy^
- 00
= М[Х (h) X (t2) I 0] e~a 1 ] + M [X (h) X (i2) 1 1] (1 -
e"a| ')• (П)
Остается вычислить входящие в эту формулу условные математические
ожидания. Значения X (П) и X (t2) случайной функции X (t) совпадают в том
§2.2. МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
91
случае, когда случайная величина К принимает значение 0, и являются
независимыми случайными величинами в том случае, когда случайная величина
К принимает значение 1. Следовательно,
М [X (t,) X ((,) | 0] = М [X* (/,)] = D,
М [X (h) X (/2) I 1 ] = М [X (/!)] М [X (/2)] = 0.
Подставляя эти значения в (II), получим
Xx(h, = (Ill)
Пример 6. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию
случайной функции X {t)-UeiAi, где U и Л - независимые случайные
величины, MU -0, DU =D, а Л распределена по закону Коши с плотностью
/(*¦)= --ТТЛ-л аг + г
Очевидно, что mx(t)~0 и, следовательно, ввиду независимости U и Л К Ah,
h)=MX (h) Х~(77) = м I и |2 MeiA =
= DMeiA''t'~tJ=- Г 12' dk = De~a 1 ^ (IV)
я J а2-)-/,2
- да
Сравнивая формулы (I), (III) и (IV), видим, что одну и ту же
ковариационную функцию могут иметь совершенно различные случайные функции
с различным характером возможных реализаций. Действительно, формула (3)
показывает, что реализация случайной функции примера 4, хотя и имеют
разрывы в моменты действия импулосов, но ни в каком промежутке времени не
сохраняют постоянное значение, в то время как реализации случайной
функции примера 5 являются ступенчатыми функциями, сохраняющими
постоянное значение между двумя последовательными моментами разрыва.
Реализации же случайной функции примера 6 непрерывны (представляют собой
гармонические колебания со случайными амплитудой, частотой и фазой).
Далее, быстрота убывания показательной функции в (I) определяется
исключительно постоянной времени цепочки RC и совершенно не зависит от
средней частоты импульсов. В формуле (III) быстрота убывания
показательной функции полностью определяется средней частотой импульсов.
Наконец, в формуле (IV) быстрота убывания показательной функции зависит
только от параметра а распределения Коши случайной частоты колебаний. Это
сравнение показывает, что ковариационная функция является весьма неполной
характеристикой случайной функции.
2.2.3. Взаимная ковариационная функция скалярных случайных функций.
Пусть X(t), Y (t), t?T,- скалярные случайные Функции. Для характеристики
их зависимости пользуются их взаимной ковариационной функцией.
Взаимной ковариационной функцией Кху (ti, t2) случайных Функций X(t) и Y
(t) называется ковариация их значений Xt Ytj при значениях tu t2
аргумента t, рассматриваемая как функция h, t2?T:
Kxy(tu t,) = MX"(t1)Yo(ta). (13)
Случайные функции X (t), Y (t) называются некоррелированными, вели К {tи
(2) = 0. Случайные функции Х(^), Y (t) называются коррелированными, если
Kxy(tu (2) =при некоторых (2 ? Т.
92 ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Пример 7. Найти взаимную ковариационную функцию случайных функций Х(1) =
ф(б U), Y (t)--^(t, U), где ф (t, U) и фр, U) - скалярные функции t и
случайной величины U (скалярной или векторной).
Пользуясь формулами для моментов функций случайной величины (ТВ, п.
5.1.1), находим
00
Kxy(ti, t2)= (j [ф (tu u) - mx(ti)][^(t2, u) - my(t2)]f(u)du,
- 00
СО со
mx(t)- ^ ф(/, и) f (и) du, my(t)~ \ ф (t, и) f (и) du.
- СО - 00
2.2.4. Ковариационная функция векторной случайной функции.
Пусть X(t), t?T,--n-мерная векторная случайная функция, компонентами
которой служат скалярные случайные функции *i(0, .... Xn(t).
Ковариационной функцией Kx(tu t2) векторной случайной функции X (t)
называется матрица, элементами которой служат ковариационные и взаимные
ковариационные функции ее компонент:
Кц (й> t2) К12 (П> (2) ¦¦¦ t2)
К21 (П> t2) К22(Т> t2) ... '(2п(Т> tz)
KX(tu t2) :
