Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
*) Через V обозначен квантор общности. Запись 4t?T означает "все значения
t, принадлежащие 7V Таким образом, событие X(t)?A, yt^T, заключается в
том, что значения случайной функции X (t) принадлежат множеству А при
всех i^T.
88
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
математическое ожидание MXt. Множество математических ожиданий величин
Xt, соответствующих всем t < Т, образует функцию тх (/). Эта функция
называется математическим ожиданием случайной функции X(t). Таким
образом, математическое ожидание случайной функции X (/) представляет
собой функцию mx(t), значение которой при каждом данном t ? Т
представляет собой математическое ожидание значения случайной функции X
(t) при этом t, MX (/) = mx(t).
Математическое ожидание действительной случайной функции X (t) выражается
через ее одномерную плотность формулой (ТВ, п. 3.1.2)
00
mx (t) = MX (t) = J x/y (x; t) dx. (9)
- 00
2.2.2. Ковариационная функция скалярной случайной функции.
В качестве меры рассеивания и взаимной зависимости значений случайной
функции обычно применяют ее ковариационную функцию.
Ковариационной функцией Kx(tly t2) скалярной случайной функции X(t)
называется ковариация ее значений Хц, Xt, при двух значениях tlt t2
аргумента /, рассматриваемая как функция tlt t2?T (ТВ, п. 3.2.2)*):
Kx(tly (2) = МХ°(^)Щк), (10)
где через Х° (/) обозначена центрированная случайная функция, X°(t) =
X(t) - mx(t).
При t1 = t2 = t ковариационная функция равна дисперсии значения Xt
случайной функции X (/) при данном t\
Dx(t) = M\X°(t)\2 = Kx(t, t).
Таким образом, дисперсия случайной функции X (t) представляет собой
функцию Dx(t), t?T, значение которой при каждом t ? Т равно дисперсии
значения Xt случайной функции X (t) при этом /.
При К Ф t2 ковариационная функция характеризует в некотором смысле
зависимость (а именно корреляцию) значений Xt , Xt2 случайной функции X
(t).
Ковариационная функция действительной случайной функции выражается через
ее двумерную плотность формулой
как, д=
00 'JQ
= 5 5 [*i - [х2 - mx(t2)]f2(xu х2; tu t2)dx1dx2. (11)
*) Эта функция иногда называется корреляционной. Однако в последнее время
чаще применяется термин ковариационная функция.
§2.2. МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
89
При t,= t2 = t значения Xt, Xt случайной функции X(t) совпадают: Xti =
Xti = Xt. Поэтому при t1 = t2 двумерное распределение случайной функции
X(t) сосредоточено на прямой x2 = xt плоскости ххх2, т. е. является
вырожденным. Вследствие этого двумерная плотность случайной функции
выражается через ее одномерную плотность формулой (ТВ, п. 2.3.4)
f2(xг, х"; t, t) = f1(x1; t)b(xt - x1).
Подставив это выражение в (11) при t1 = t2 - i, получаем формулу для
дисперсии действительной случайной функции X (t):
OD
Dx{t) = Kx(t, t) = S [x-mx(t)]^f1(x; t)dx. (12)
- 00
Пример 3. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию
случайной функции X(t) = q>(t, U) примера 1.
Применяя формулы для моментов функций случайных величин (ТВ, п. 5.1.1),
получим
mx(t)= J ф(0 u)f(u)du,
- 00
ОС
Kx(ti, /2) = ^ [ф(П, И) - mx(ti)\ [ф(/а> u) - mx(t2)]f(u)du.
- 00
Если функция ф линейна относительно параметра U,
N
*i(o= 2 угФг(о.
г= I
то для определения математического ожидания и ковариационной функции
случайной функции X (t) нет надобности знать распределение величины U, а
достаточно знать ее математическое ожидание, компоненты которого мы
обозначим через mlt ..., шдг, и ковариационную матрицу (дисперсию, если
величина U - скалярная), элементы которой мы обозначим через kpq. В этом
случае, применяя формулы для моментов линейных функций случайных величин
(ТВ, п. 3.3.5), получим
N
тх (0= 2 тгфг(0-
г= 1
Л' ______
Kx(ti, t2) = 2 (М-
р. я= 1
Пример 4. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию
флуктуаций напряжения на выходе электрической цепи с электронным
Устройством (дробового эффекта).
Математическое ожидание и ковариационная функция могут быть в Данном
случае вычислены совершенно так же, как было вычислено математическое
ожидание в формуле (4). Однако эта задача решается значительно проще,
если воспользоваться выведенной в примере 2 формулой (7) Для я-мерной
характеристической функции. Полагая в (7) я = 2 и определив
90
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
коэффициенты при г'^ и -Я1Я2 в разложении логарифма двумерной
характеристической функции gi,t2(k 1, Я,2) в ряд Маклорена, получим (ТВ,
п. 4.5.3)
t
тх (t) =ai ^ (х (т) w (t, т) dx,
ta
min {tit U)
Kx(ti, ^) = a2 ^ p. (t)w(t1, x)w(t2, x)dx,
to
где ar=-irg(a (0) - момент порядка г случайной величины импульса.
В частном случае, когда рассматриваемая электрическая цепь представляет
собой цепочку RC, средняя плотность импульсов ц постоянна, а t0 = -cc,
w(t, т) = (1/Т)е~(<_х)/т 1 (t - т) (пример 1.6), и предыдущие формулы
принимают вид
t
(tm).r(0 = -^L ^ е_(,_т)./г dx = a1\i,
- 00
min('t, tz)
К Ah. J e-"1-x + /,-T)/7-dT = ^.e-|<I-(,|/r (I)
- 3)
Пример 5. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию
действительной ступенчатой случайной функции времени X (t), которая
