Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
I Xy, ty, t2) . . . f p (X", tn I Xy, . . ., Xn_y, ty, , . ., 1),
гДе fk(xk, tk\Xy, ..., xk_y\ ty, ..., tk_y) - условная плотность значения
Xtk процесса X (t) при данных его значениях xif . .., xk_t
86
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
при t = tu ..., tk_x (k = 2, 3, ...). Но для марковского случайного
процесса X (t) согласно определению
f к ^к\Х\у • • • , Xk_i, t1, . . ., tk_ i) = f2 (Хк, tk J Xk - j J t к-
1).
Следовательно, я-мерная плотность марковского случайного процесса X (/)
определяется формулой fп (Хи ' ' ' t Хп, ti, * . • , t") "
= ЛК; tt\Xi; h) . . . ft(xn\ tn\ xn_1; tn_x).
Положив здесь n = 2 и выразив условную плотность /2 (х2; t21 х2; tt)
через одномерную и двумерную плотности, получим
Iп (Xi* • • • > Хп, tlt . . . ,
К (*ь ^г; С, tj) /з (*з, *з1 *з> h) • • • /г (*п-1. *b-i. fn)
/г №>; Ы /1 (*з1 t3) ... fi /п-i)
(л = 3, 4, .. .)•
Эта формула показывает, что все конечномерные распределения марковского
процесса однозначно определяются его двумерным распределением.
2.1.4. Вероятности событий, связанных со случайными функциями.
Конечномерные распределения случайной функции определяют вероятности
событий, связанных со значениями случайной функции в конечном множестве
точек. А именно вероятность того, что значения Xtt, ..., Xtn случайной
функции X (t) при t = t1, ..., tn будут удовлетворять условию {Хц,
Xin}?B, определяется формулой
Р (№,, . . ., Х1п} ? В) = 5 . . . 5 fn (хи ..., хп; tu ..., tn) dXi . .:
dxn.
J В J
(8)
Эта формула определяет вероятность появления в результате опыта одной из
множества функций {x(t): {x(tx), . . ., х (/")}(; В}. Такое множество
функций называется цилиндрическим множеством с п-мерным основанием В *).
Таким образом, конечномерные распределения случайной функции определяют
вероятность для всех цилиндрических множеств.
Естественно возникает вопрос, нельзя ли с помощью конечномерных
распределений случайной функции определить вероятности для более широкого
класса событий. Положительный ответ на этот вопрос дает теорема А. Н.
Колмогорова, которая устанавливает, что конечномерные распределения
случайной функции однозначно определяют вероятности не только для
цилиндриче-
*) Это название объясняется тем, что значения функций, входящих в такое
множество, ограничиваются только при t = ti, ..., t", а при остальных
значениях t остаются произвольными, по аналогии с тем, что множество
точек {{ли, х2, *3}: {*i. *2}6В} трехмерного пространства представляет
собой цилиндр с основанием В в плоскости х2х2 н образующей, параллельной
оси х3.
§2.2. МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
87
ских множеств, но и для значительно более широкого класса множеств
функций, а также устанавливает существование случайной функции с любой
данной согласованной последовательностью конечномерных распределений
[37]. Мы не будем здесь давать точную формулировку этой теоремы. Отметим
лишь, что согласно этой теореме конечномерные распределения однозначно
определяют вероятности только таких событий, связанных с данной случайной
функцией, которые накладывают ограничения на значения случайной функции
не более чем в счетном множестве точек. Поэтому конечномерные
распределения случайной функции X (t) в общем случае не определяют
вероятности некоторых событий, которые приходится вычислять в задачах
практики, например вероятность отсутствия выхода случайной функции из
данной области в данном интервале (/lt А), т. е. вероятности таких
событий, как {a<X(t) < b, V/ ? (/1; /2)}, {X (t) ? А, V/ ? Т} *).
Чтобы конечномерные распределения случайной функции при несчетном Т
определяли вероятности всех событий, которые приходится рассматривать в
задачах практики, необходимо наложить некоторые ограничения на реализации
случайной функции. А именно необходимо потребовать, чтобы каждая
реализация случайной функции (за исключением, может быть, некоторого
множества реализаций, имеющего нулевую вероятность) однозначно
определялась ее значениями в некотором счетном множестве точек. Этому
условию удовлетворяют, например, случайные функции с непрерывными
реализациями. А так как практически все случайные функции, встречающиеся
в приложениях, имеют непрерывные (и даже равномерно непрерывные)
реализации, то конечномерные распределения случайной функции практически
определяют вероятности всех событий, которыми приходится интересоваться в
приложениях.
Для читателей, знакомых с элементами теории меры, заметим, что
конечномерные распределения случайной функции определяют вероятность на
ст-алгебре, порожденной цилиндрическими множествами, т. е. на минимальной
ст-алгебре, содержащей все цилиндрические множества. Любое множество этой
ст-алгебры накладывает ограничения на реализации случайной функции не
более, чем в счетном множестве точек [91], [102] (вып. 7).
§ 2.2. Моменты случайной функции
2.2.1. Математическое ожидание. Рассмотрим случайную функцию X {t),
t?T. Предположим, что при любом значении аргумента / ? Т значение Xt
случайной функции X (t) имеет конечное
