Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
интервале времени ((0, t) достаточно вычислить сумму вероятностей всех
возможных распределений импульсов Тг, ..., Тт, Тг Тг ss: ... с Тт, по
интервалам (?0. тД, (xi, х2), ...
.. ., (xm_i, т,л), удовлетворяющих условиям Ту < Xi Tm < xm, при
непопадании ни одного импульса в интервал (тт, t) и разделить эту
вероятность на вероятность попадания т импульсов в интервал (/0, /), т.
е. на вероятность события Ет. Взяв смешанную производную найденной таким
путем
условной функции распределения F (xi, ..., хт) по xi хт, найдем
условную плотность / (хь ..., хт) случайных моментов импульсов Ту, ...,
Тт при попадании т импульсов в интервал (/", t). При этом отличный от
нуля результат даст только одно слагаемое, зависящее от всех переменных
Xi, ..., хт, пропорциональное вероятности попадания по одному импульсу в
каждый из интервалов ((0, тД, (xi, х2) (xm_i, хт):
k=i \р=1 J
!о т, Хт - 1
В результате получаем
Хт~ 1
И
f (х 1, ...,тт) = 0 при невыполнении условия <0 < Xi <х2 "S ... "?тт <
¦ 84
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Определив условную плотность моментов импульсов Ти Tm, находим
математическое ожидание в (5):
( <N п л
exp J i 2 Ak 2 Vй Vp> Tk) г I Ец
I *=i p=l J
t T m
= ^ J V('r:m)dTm\j Ц(ТИ_ i)dxm_! ...
M
]m ' n
-Jn*. 2
f k=l \p=1
tn
^pw(tp, xA) hi (Ti) dxi. (6)
Подынтегральная функция здесь симметрична относительно переменных Ti xm.
Следовательно, интеграл в (6) не изменится при любой перестановке
переменных xlt ..., xm. Поэтому вместо того, чтобы брать один интеграл в
(6), умноженный на от!, можно взять сумму от! интегралов, полученных
путем всех возможных перестановок переменных х1г ..., хт. Но сумма всех
таких интегралов равна интегралу по m-мерному кубу со стороной (t0, 0-
Следовательно,
М
ехр j* 2 2 %pwVp' га)| I?
(xk) UT1 ... dx"
{gal 2 XPW(*P' J) Vw*
i \p=1 /
Для вычисления математического ожидания в (4) теперь достаточно, умножить
полученное выражение на вероятность события Ет и просуммировать по всем
возможным значениям от от 0 до оо. В результате получим
St.
¦ tn ^.............^п)- 2^ т\
т=О
k"w(tp, т) р (т) dx
U(E
Ly. vp-i = expjj ёа 2 Vй Ур' Т)^) ~ 1
р(т) dx
Таким образом, конечномерные характеристические функции случайной функции
X (t) определяются формулой
• шах (<! tn)
gtl t (^i..........................^л) = ехр
ga( 2 Vй Up T) )_1
p (x) dx
(n = 1,2,...). (7)
2.1.3. Марковские случайные процессы. Мы видели, что любое
конечномерное распределение случайной функции однозначно определяет и все
конечномерные распределения меньших размерностей. Но в общем случае ни
одно из конечномерных распределений случайной функции не определяет ее
конечномерные
§ 2.1. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 85
распределения высших размерностей. Однако существуют случайные функции,
для которых какое-нибудь из конечномерных распределений определяет всю
последовательность ее конечномерных распределений.
Так, например, для случайной функции X (/) с независимыми значениями
случайные величины Xtl, ..., Xtn независимы при любых tu ..., t"?T и при
любом натуральном п. Поэтому для случайной функции X (/) с независимыми
значениями
fn (*1 хп> h О = /х (*i*. *i) h {хг\ t2) ... fy (х"; tn)
(п = 1, 2, ...).
Таким образом, все конечномерные распределения случайной функции с
независимыми значениями однозначно определяются ее одномерным
распределением.
Другим примером случайных функций, у которых все конечномерные
распределения определяются одним из них, являются марковские случайные
процессы. Прежде чем давать определение марковского случайного процесса,
дадим сначала определение марковской последовательности случайных
величин.
Последовательность случайных величин {ХД называется марковской случайной
последовательностью, если при любых натуральных рг < . .. < рп условное
распределение величины ХРп относительно XPl ХРп_х зависит только от
ХРп_,, т. е. совпадает с условным распределением величины ХРп
относительно ХРп_г.
Случайная функция X (t) непрерывно изменяющейся скалярной переменной t
называется марковским случайным процессом, если при любом выборе
последовательности значений аргумента {tp}, tp_y<_tp, последовательность
случайных величин {Xtp} является марковской.
Марковский случайный процесс X (/) обладает тем свойством, что при данном
его значении х в какой-нибудь момент т, X (т)=х, распределение его
значения Xt в любой последующий момент t > т однозначно определяется его
значением х в момент т и совершенно не зависит от его реализации до
момента т. Иными словами, всем реализациям марковского процесса X(t),
принимающим одно и то же значение х в данный момент т, X (т) = х,
соответствует одно и то же условное распределение X (7) в любой момент t
> т, не зависящее от хода реализации до момента т.
Пусть X{t) - марковский случайный процесс. Его л-мерная плотность
согласно общей теореме умножения плотностей определяется формулой (ТВ, п.
4.2.2)
fn(xу, ..., х"; ty, ..., tn) = f1(x1; ty)f2(x2; t2\Xy, ty)x ^ f 3 (x3, t3
