Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
...)
(ТВ, § 4.5). Можно также характеризовать конечномерные распределения
соответствующими функциями распределения Fn (х1у..., хп\ tи • • tn)
(/г=1, 2, . . .).
Распределение любого конечного множества случайных величин однозначно
определяет и распределения всех подмножеств этих случайных величин (ТВ,
п. 4.1.3). Следовательно, я-мерное распределение случайной функции
однозначно определяет и все ее распределения меньших размерностей. Зная
я-мерную плотность случайной функции, можно определить все ее плотности,
меньших размерностей по формуле
fт (М" • ¦ •" Хт, t\, . . . , tт) =
00 00
= S • • • S fn(*u •••,*"; tu tn)dxm+1...dxn (m= 1 я-1).
- 00 - 00
СО-
При любой перестановке значений tu tn аргумента t
совместное распределение случайных величин Xtl, ..., Xt" не изменяется.
Поэтому для любой перестановки tPl, ..., tPn переменных tly ..., tn и
соответствующей перестановки xPl, ..., хРп величин хи .. ., хп имеет
место равенство
/п (Мч> • • • * tPl9 . . . , tPn) [ц (Xi, . . . , Хп, tu • • •" ^я)-
(^);
Условия (1) и (2) называются условиями согласованности конечномерных
распределений. Любое семейство конечномерных
"2
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
распределений, удовлетворяющих условиям (1) и (2), называется
согласованным семейством конечномерных распределений.
Таким образом, конечномерные распределения случайной функции всегда
удовлетворяют условиям согласованности (1) и (2)'
Пример 1. Коне томерные функции распределения случайной функ" ции X
(t)=y(t, U), где ср (t, U)-данная функция переменной t и конечномерной
случайной величины (J, определяются формулой (ТВ, п. 5.2.2)
Fn(x хп\ tlt ..., t") = J f (и) du (л=1, 2, ...),
где } (и)-плотность случайной величины U, а
Ап = {и: <р (tlt и) < xlt ..., q>(tn, и) < хп} *).
Пример 2. Найти конечномерные распределения случайной функции X (t),
представляющей собой флуктуации напряжения на выходе цепи электронного
устройства (так называемый дробовой эффект).
Поток заряженных частиц, вызывающих флуктуации напряжения, с достаточной
точностью можно считать пуассоновским потоком (ТВ, п. 1.9.1). Будем
считать интенсивность потока частиц (среднее число частиц в единицу
времени) известной функцией времени р(1). Электрические импульсы,
получаемые цепью от разных частиц, будем считать независимыми одинаково
распределенными случайными величинами, независимыми от случайных моментов
действия частиц. Обозначим через w(t, т) весовую функцию цепи
(предполагаемой линейной), т. е. напряжение на выходе рассматриваемой
цепи в момент t под действием единичного электрического импульса в момент
т. Тогда случайное напряжение на выходе цепи в момент t определится
формулой
N
X(t)=^Ahw(t, Tk), (3)
k= i
где N- случайное число импульсов, действующих на цепь в интервале времени
(t0,t),T1, ..., Tjj-случайные моменты действия импульсов, ... ..., An-
случайные величины импульсов на входе цепи.
Чтобы найти л-мерное распределение случайной функции X (t), проще всего
вычислить совместную характеристическую функцию ее значений в моменты <х,
..., tn. Обозначив через t наибольшее из значений ilt ..., tn, t = max(t1
tn), и имея в виду, что w(t, Tk)- 0 при t< Тk (цепь физически возможна),
вследствие чего значения X (i{), ..., X(tn) можно вычислить по формуле
(3) при одном и том же N, представляющем собой число импульсов в
интервале (t0, t), получим
( п 1
8t" .. in • • •• ^п) = Л1 ехР \ * 2 ХРХ Ур> =
\ P=l J
( N
= Л1ехр -!*' 2 АЬ
( k=i
Для вычисления математического ожидания в этой формуле применим формулу
полного математического ожидания (ТВ, п. 4.3.3), вычислив сначала
условное математическое ожидание при данном значении m случайного числа
импульсов N, а затем взяв математическое ожидание найденного
(4)
*) Через {и: S} обозначено, как обычно, множество значений и, для которых
выполнено условие S.
§ 2.1. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 83'
условного математического ожидания с учетом случайности числа импульсов.
Обозначим через а математическое ожидание числа импульсов, действующих на
цепь в интервале времени (/0, t), а через Ет- событие, заключающееся в
том, что в течение интервала времени (t0, t) на цепь действует ровно т
импульсов (т = 0, 1, 2, ...). Тогда вероятности событий Ет выразятся
формулой (ТВ, п. 1.9.4)
Для вычисления условного математического ожидания относительно события
Егп в (4) снова применим формулу полного математического ожидания, взяв
условное математическое ожидание относительно величин Tlt Тт. Тогда,
учитывая независимость случайных величин Аг, ..., Ат как между собой, так
и от величин Т}, ..., Тт, получим
где?а(А,) - характеристическая функция случайной величины Ai. (6=1,2,
...). Для вычисления последнего математического ожидания найдем
совместное условное распределение моментов импульсов 7'1, ..., Тт
относительно события Ет. Возьмем произвольные моменты времени Tj, ...,
ти, Xi < ... < хт, в интервале (tQ, t). Для вычисления функции
распределения F (х-у, ..., хт) при данном значении т числа импульсов N в
