Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
случайной функции, называется реализацией этой случайной функции. Каждая
реализация случайной функции представляет собой конкретную функцию того
же аргумента.
Как уже было сказано в § 1.4, случайные функции будем обозначать большими
буквами, преимущественно из конца латинского алфавита, а их возможные
реализации - соответствующими малыми буквами. Рассматривая значение
случайной функции X (t) при данном значении t как случайную величину,
будем обозначать эту случайную величину через Хи а ее возможные
реализации (значения) - через xt.
В качестве примеров случайных функций времени приведем результат
измерения и ошибку измерения любой величины, изменяющейся во время опыта.
Случайными функциями времени являются также координаты частицы,
взвешенной в жидкости, совершающей брауновское движение *), случайные
колебания тока
*) В последнее время это движение чаще называют броуновским. Однако это
неправильно, так как фамилия открывшего это движение шотландского
¦ботаника произносится Браун (см. [77]).
80
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
и напряжения в радиоприемных устройствах при приеме радиосигналов с
помехами. Поверхность волнующегося моря в данный момент времени может
служить примером случайной функции двух переменных - географических
координат точки земной поверхности. Вектор скорости ветра в турбулентной
атмосфере представляет собой трехмерную векторную случайную функцию
четырех переменных - координат точки пространства и времени. Вектор
ускорения центра массы и вектор угловой скорости самолета при полете в
турбулентной атмосфере (в болтанку) представляют собой векторные
случайные функции времени.
Мы будем изучать здесь преимущественно скалярные и конечномерные
векторные случайные функции скалярной независимой переменной. Такие
случайные функции обычно называются случайными процессами. Это название
объясняется тем, что скалярный аргумент случайной функции в задачах
практики, как правило, представляет собой время, вследствие чего
случайная функция скалярной переменной обычно описывает процесс изменения
некоторой величины во времени. Однако все то, что изложено в этой главе,
в § 3.2, 4.1, 4.2, относится в равной мере как к случайным функциям
скалярной переменной, так и к случайным функциям конечномерной векторной
переменной. Последние часто называются случайными полями. Это объясняется
тем, что в приложениях векторный аргумент обычно представляет собой
радиус-вектор точки пространства, а функции точки пространства в физике
принято называть полями.
2.1.2. Конечномерные распределения случайной функции. В задачах
практики приходится рассматривать как действительные; так и комплексные
случайные функции. Любую скалярную комплексную случайную функцию можно,
конечно, рассматривать как пару действительных случайных функций.
Соответственно, "-мерную векторную комплексную случайную функцию можно
рассматривать как 2п-мерную действительную векторную случайную функцию*).
Однако в некоторых случаях удобно рассматривать комплексные случайные
функции, не сводя их к действительным. Говоря о распределениях случайных
величин, всегда удобно рассматривать действительные случайные величины.
Поэтому мы будем рассматривать только распределения действительных
случайных функций.
Пусть Х((), t?T,- действительная случайная функция, скалярная или
конечномерная векторная**). Распределение значения Xt случайной функпнп X
(t), зависящее от параметра t ? Т, называется одномерным распределением
случайной функции X (t). Совместное распределение значений Xti и Xta,
зависящее от пара-
*) Комплексной векторной величиной мы называем вектор с комплекс' ными
координатами.
**) Через Т обозначена область определения случайной функции.
§ 2.1. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 81'
метров tu 12 ? Т, называется двумерным распределением случайной функции X
(t). И вообще совместное распределение значений Xti, ..., Xtn случайной
функции X (t), зависящее от параметров tu ¦ ¦ ¦ > tn ? Т, называется п-
мерным распределением случайной функции X (t). Таким образом, случайную
функцию можно характеризовать последовательностью ее конечномерных
распределений,, т. е. распределений ее значений при любых конечных
наборах значений аргумента t.
я-мерное распределение скалярной случайной функции представляет собой
распределение вероятностей в я-мерном пространстве, т. е. является
фактически я-мерным. я-мерное распределение щ-мерной векторной случайной
функции представляет собой распределение в пт-мерном пространстве.
В задачах практики встречаются только такие случайные величины, которые
имеют плотность, возможно, содержащую линейные комбинации 6-функций. В
соответствии с этим будем считать, что все конечномерные распределения
случайной функции X (t) определяются соответствующими плотностями,
которые будем обозначать fn(x j, ..., хп\ tu . . ., tn) (я=1, 2, ...).
Впрочем, часто бывает удобнее определять конечномерные распределения
характеристическими функциями *"(*1, К) (п = 1, 2,
