Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
... Q"]T, Q=Q(q, q,
энергия, П = П(9) - потенциальная t) - вектор обобщенных неконсерва-
тивных сил, приводится к системе уравнений Гамильтона для канонических
переменных q и p = dTjdq[80]:
дН др
дН
P=--d? + Q'
где H = H(q, р, t) - функция Гамильтона, H - pTq-Т. Чтобы выразить Н и Q
как функции канонических переменных и времени, следует решить уравнение p
- dTjdq относительно q и подставить найденное таким путем q в формулы для
функций Н и Q.
1.14. Вертикальные колебания кузова автомобиля при движении по неровной
дороге описываются уравнением [126]
Afz-j- 2ф (z - q)-\-2ф (z - q) =0,
где М - масса автомобиля, ф (z-q) и ф (z-q) - нелинейные функции,
определяющие демпфирующие и восстанавливающие силы, q = q(a) - функция,
характеризующая микропрофиль дороги в вертикальной плоскости под каждой
парой колес, o = vt, v - скорость автомобиля *). Найти передаточную
функцию автомобиля при ф (z-q)-b(z-q) и ф (z - q)=c(z-q), где bn с -
постоянные коэффициенты.
1.15. Уравнения движения объекта с одной степенью свободы, оснащенного
нелинейным динамическим гасителем колебаний, имеют вид [126]:
[IX+Ьх + сх -f Я|)г (i-хг) + фг (х-хг) = F (t),
Мт-^г (-Я - Хг) фг (х - хг)=0, где х и хт - перемещения объекта и
гасителя, р и рг- массы объекта и гасителя, Ь и с - коэффициенты сил
вязкого трения и восстановления, фг (х-хг) и фг (х-;сг) - функции,
характеризующие силы вязкого трения и силы восстановления, F (t)-
возмущающая сила. В частном случае, когда фг (х-хт)= = Ьт (х-хт) и фг (х
- хг)=сг(х-хг), где Ьг, сг - постоянные коэффициенты,
*) Предполагается, что обе пары колес автомобиля в каждый момент времени
испытывают одинаковые вертикальные смещения вследствие неровности дороги
(т. е. профиль дороги в вертикальной плоскости имеет очень большой
интервал корреляции).
78
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
найти передаточную функцию системы, рассматривая силу F (t) как входной
сигнал.
1.16. Уравнения поперечного движения самолета (т. е. движения по
горизонтальной поперечной оси и вращения вокруг продольной оси) в режиме
прямолинейного равномерного горизонтального полета (номинальный режим)
имеют вид
"• • • П It'"
P"rcllP~rc12P+ Ci3y = - С1461-С15б2-1-Схбй7г + с17^2- с1в ' >
dW
Y + C21Y + С22Р +С2зР =---С2461-С2562 - С27 " fa ~ '
q? = *iP-ъгу-bswz,
где Р - угол отклонения оси самолета от вектора скорости в горизонтальной
плоскости (угол скольжения), у- угол крена, , 62 - углы отклонения руля
направления и элеронов соответственно, ф - угол отклонения вектора
скорости от заданного направления полета, IVy, - вертикальная
и горизонтальная поперечная компоненты вектора скорости ветра в
турбулентной атмосфере, dWy/dz - производная вертикальной компоненты
вектора скорости ветра по направлению горизонтальной поперечной оси, сп,
...
• ••, 0х8, с2х, ..., с27, bi, Ь2, Ь3 - некоторые коэффициенты.
Составить уравнения поперечного движения самолета, управляемого
автопилотом, стабилизирующим направления осей самолета в пространстве:
а) предполагая, что рулевые машины мгновенно устанавливают требуемые
отклонения руля направления и элеронов;
б) с учетом динамики рулевых машин (см. примеры 1.10 и 1.23).
1.17. Показать, что нелинейное уравнение п- 1
у(п) + 2 (у' у'' •••' yin~m~1), t)ytk>Jr
k-n-m
т
+ ф(0. У', у^гг~т~1), 0= 2 Ьь(У> У'' ¦¦¦' y{n~',~~1K t) **> (т < п)
Н-0
заменой переменных
Zx = p, zk + i = z'k (fc=l, ..., n - m - 1),
Zft + i = z'k - qk(z1, ..., Zn-m, t)x (k = n - m л-1)
приводится к системе уравнений z'k = zk + i (k-\, ..., n - m- 1),
z* = Zft+i + <7ft (zi> •••> 2n_m, t) x (k = n - m, ..., n- 1),
n
@1 - 1 felt •*•> Zn_m, t) Zi ф(^1> •••) Zn_rn> t) -}-
1= n - m - 1
+ Vn(z 1, • i)x,
где функции qn"m, qn определяются формулами (42) при an - I.
ГЛАВА 2
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 2.1. Случайные функции и их характеристики
2.1.1. Определение случайной функции. Из сказанного в § 1.4 следует,
что основным математическим аппаратом для изучения стохастических систем
и, в частности, стохастических дифференциальных систем служит теория
случайных функций. Поэтому мы дадим здесь краткое изложение основных
положений теории случайных функций, на которые будем опираться в этой
книге.
Случайной функцией называется такая функция, значение которой при каждом
данном значении аргумента является случайной величиной. Из этого
определения следует, что случайная функция представляет собой множество
случайных величин, соответствующих всем значениям аргумента из области
его изменения {области определения случайной функции).
В результате опыта случайная функция при каждом значении аргумента
принимает некоторое конкретное возможное значение. Совокупность этих
значений, соответствующих всем значениям аргумента, представляет собой
некоторую конкретную функцию. Таким образом, при наблюдении случайной
функции в каждом опыте получается некоторая функция. В разных опытах
получаются разные функции.
Каждая функция, которая может быть получена в результате наблюдения
