Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Фц (s) = Ь/А (S) [s2 S (fl22 + Язз) + а22ЯзЗ--------а23"32].
Ф12 (s) = bjA (S) (- sa-i2-\-cii2a33 - a32ai3),
Ф13 (s) = - b/A (s) (sa13 + di2a23 - "1за2г)>
(r)2i(s) = 6/A (s) (-sa2i-\-a2ia33 - Пз1а2з)>
Ф22 (^) = - b/A (s) [s2 - s (ац + "зз) -(-ацазз - "i3"3i)>
Ф23 (s) - b/A (s) (- sa23-|-aiia23 - a2i"i3)>
Ф31 (s) = -b/A (s) (sa3i + a2ia32 - 031^22),
Ф32 (s) = b/A (s) (-sa32-|-aiia32 - ai2a3i),
Ф33 (s) = - b/A (s) [s2-s (ац + 022) ~}~aiia22 - "i2"2i]>
A (s) = I a - sf |.
1.8. Показать, что для стационарной системы задачи 1.7 приац = а31=
= ai3 = a32 = 0, ai2 = a23 = l, a2i = -¦ со0, а22 = -2е, а33 = -а
элементы мат-
рицы передаточных функций определяются формулами Фи (s) = - b/A (s) [s2 +
(2e-fa) s^2ae],
Ф12 (s) = - b (s + a)/A (s), Ф13 (s) =- b/A (s),
Ф21 (s) =йсоо (s-(-ot)/A (s), Ф22 (s) =- bs (s+a)/A (s),
Ф23 (s) = - bs/A (s), Ф31 = Ф32 = 0,
Ф33 (s)= - b (s2-|-2es-;-a5o)/A (s),
A (s) = - (s a) [шо + (2e -j- s) s].
Проверить, что элементы матрицы и (t, т) фундаментальных решений равны
"1з(^т) = (- 1/шс) [ац (t, т)Н-а/со0 а 21 (U т ) - u33(t, т)],
"31 = и32 = 0, u3S(t, т) = ехр {- a (t - т)},
"23 U, т) = (- 1/сОс) {"21 (f. Т) (l - 2еа/соо) - а ["11 (t, т ) - u33(t,
т)]},
а функции Нц, "12, ац, "22 определены в задаче 1.3.
1.9. Показать, что для стационарной линейной механической системы с п
степенями свободы дифференциальные уравнения движения имеют следующий вид
[80]:
а) в лагранжевых переменных
Aq-\-(B -{¦ В') Я^г{С-тС') q - Q,
где q = [q3 ... - вектор обобщенных координат, Q=[Qi ... Q"]T -
век*
тор обобщенных сил; в данном случае вектор y - q представляет собой
выходной сигнал, а вектор x = Q-входной сигнал, А - симметричная матрица
инерционных коэффициентов, В-симметричная матрица диссипативных или
ускоряющих сил, В' - антисимметричная матрица гироскопических снл, С-
симметричная матрица позиционно консервативных сил, С' - антисимметричная
матрица позиционно неконсервативных сил; б) в канонических переменных
0 А-1
-(С+С') ~{В+В')А-'
+
гДе q и p - Aq-вектор обобщенных координат и вектор импульсов; в данном
случае при тех же входном и выходном сигналах [9трт]т = г - вектор
состояния системы.
76
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
1.10. Показать, что для устойчивой стационарной механической си" стемы
задачи 1.9 при п - 2:
Лхх
L^is
Ai2
41 +(
.42 . \
Su В12
"]+[ 0 6x2
22 J Bl2 0
+Цс" ?"] +
Qi L <72 J 0 С12 С12 О
+
9лементы матрицы передаточных функций Ф (s) определяются формулами Фи (s)
= 1/А (s) {-^11 (| С | -\-C12) - S [Сц (C22 + s) - (^12 + S12) (Cj2 -
С12)]} >
Ф12 (s) = - 1/А (5) {Л12 (| С |-гСи) - s [Сц (В12 - В12) -(S11+ s) (С12-
С12) ]} > Ф21 (s)--1/А (s) {- А12 (| С [ +Ci2)+s [(Схг + Сгг) (В22 + а)-~
С22 (В12+ В12)]} i Ф22 (s) = 1/А (s) {Л22 (| С | -j-Ci-j) + s [(С12 -
С12) (В12 - В12) -С22 (Вц + s)]} > где
A (sj == s4-j- г]S3-f- r2s2 + r^s-j- r4, rj В11A22 + б22Лхх - 2Вх2Лх2"
Гз- [ВцЛ22 - (Вх2 + В12) Лх2] [в 22^11 - (Вхг - В12) Лх2] +
+ (СцЛ22 + С22А11- 2С1И12), Гз = [Bxx^4i2 - (Вхг + Вхг) Ац] [(В12 - В12)
Л22 - В22Лх2] +
+ [в 22^11 - (В Х2 ~~ В12) Л12] [Схх^22 - (с12 + Схг) ^12] +
+ [(Вх2 - Вх2) Л22 - В22Лха] [С11А12 -(Сх2 + Сх2) Лхх] +
+ {[Bxii422 + (Bi2-f- В12) Aiz} -f- [(В12 4* Вх2) Лхх - Вхх-422]} К
X [С22Л22 - (Схг -Сх2) Л22] "
Г4 = (|С| + с;22)/|Л I,
|Л|=ЛххЛ22 Лх2, |С|=СххС22 - Сх2>
Aii = Aijl\ А I (*,/=1,2).
1.11. Показать, что в условиях задачи 1.9, если матрицы Л-1ВиЛ-1С
коммутативны, В'- О, С'= 0, то всегда существует линейное преобразование
выходного сигнала y = q, y - L?, удовлетворяющее условиям
L~1AL = I, LTBL = diag (2e,, ..., 2e"),
UCL = diag(wL al),
при котором уравнения движения распадаются на п независимых линейных
дифференциальных уравнений второго порядка
atfiZh -~uh (Л=1,..., п),
где Ufc = Uft(0-h-й элемент матрицы-столбца LTQ [13]. Выписать соответст
вующие уравнения при В=2еЛ, В-цС.
1.12. Рассмотрим линейную электрическую цепь, состоящую из п индуктивно
связанных замкнутых контуров с общими ветвями (рис. 9, где п=2)*). Приняв
полную э. д. с. в /г-м контуре за k-ю компоненту входного сигнала х, а
полный заряд всех емкостей в h-м контуре за h-ю компоненту выходного
сигнала у, показать, что уравнения процессов в цепи совпадают
*) Ток в общей ветви нескольких контуров, конечно, представляет собой
алгебраическую сумму токов всех этих контуров.
ЗАДАЧИ
77
с уравнениями задачи 1.9 с А = [Ьы], S = [/?*/], В' -О, С = [ 1/С^], С'=
О, где Rkk' Ckk> Lkk представляют собой омическое сопротивление, емкость
и индуктивность k-то контура соответственно, a Rkt, Ckt (IФ k) -
индуктивность общей ветви k-то и l-то контуров вместе с их взаимной
индукцией, омическое сопротив-
' ¦ ' Ri, L
ление и емкость общей ветви k-то и l-то контуров соответственно [80].
1.13. Показать, что механическая система с п степенями свободы,
описываемая уравнениями Лагранжа
dq
L"
d / dL\
dt \dq)'
где q = [q1... qn]T - вектор обобщенных координат, L~
=T - П - функция Лагранжа, T = T(q, q, t) - кинетическая энергия, Q=[Qi
