Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Zi == Z4 [e4 - YiZ2 - (yiAi) Z4 + У4 (^)] + У3 (t),
i-2, = Z2 [- Ё2 +y2Zj -V ( у2Д2) Z3+ У 2 (/)] -p У 4 (/),
Zs - hi(Zi - Z3), Z4=Z2(Z2-Z4),
Zi(^o)=Z10, Z2(/0)-Z20, Z3 (^o) =Z4 (/0) =0. (VI)
В частном случае при У4(/)=0, ..., У4(/)=0 уравнения (VI) описывают
дифференциальную систему, к которой приводится интегро-дифферен-циальная
система Вольтерра (I) --(III).
Пример 26. Уравнения движения системы с одной степенью свободы под
действием переменной силы х (t) в среде, подчиняющейся закону
наследственной вязкоупругости, имеют вид
t
• Г"
Zi = z2, z2 = - czi - ^ Ф (t - x) (p (z4 (t), t) dx + x (/),
U
zl(^o)=z10- Z2(^o)-Z2(l-
Здесь zi-обобщенная координата, z2 - обобщенная скорость, с - коэффициент
упругости, Ф (t-т) - функция влияния наследственной вязкоупругости среды,
ф (гь т)-зависимость силы от обобщенной координаты г4, в общем случае
нелинейная.
При экспоненциальной функции влияния Ф (t-х) = Ье~^^~х^ исходная интегро-
дифференциальная система приводится к следующей трехмерной
дифференциальной системе:
Zi = Z2, z2 = - cz1~(b/l) z3 + x (t), z3 = (Zi - z3),
Zl(M=zm, Z2(^o)=z2lb z3(^o)=0.
Пример 27. Уравнения движения самолета, маневрирующего в вертикальной
плоскости, с учетом зависимости подъемной силы и момента аэродинамических
сил от закона изменения угла атаки а до данного мо-
ЗАДАЧИ
73
мента t имеют вид
t
a+cicc+c2a+ J wa (t, т) a (т) dx = c0-f-c38, to
t
0 = ао+^ше(^, T)a(r)dx, r|=rcsln0.
^0
Здесь, в дополнение к обозначениям примеров 10 и 23, t0 - момент начала
маневра, а0 - некоторая функция времени, uoa(t, т) и Wq (t, т) - функции
влияния, характеризующие зависимость подъемной силы и аэродинамического
момента от прошлых значений угла атаки а. Эти функции практически всегда
можно аппроксимировать с достаточной точностью весовыми функциями
некоторых линейных систем. Тогда система уравнений движения
маневрирующего самолета приведется к системе дифференциальных уравнений.
В частности, для экспоненциальных функций влияния Wait, т) = = Wq
(t, т) = кге~^'^~х\ вводя новые переменные
t t
"i= J а (т) dx, "2=^ кге~Хг^~х'> a (t) dx
Л) to
и пользуясь результатами примера 6, получим дифференциальные уравнения
Z± = Z2, 22 = Ct) - C2Z4 -C\Z2 - И1 ^0 "Ь
Z3 = a0-f"2. z4 = v sin z3,
Ul = k\Zi'-H2 - &2Zl- Я2П2, где, как и в примере 10, Zi = a, z2 - a, z3 =
0, z4 = т).
ЗАДАЧИ
1.1. Показать, что для устойчивой стационарной линейной системы
z = azJrbx, y = z, z = [z1z2]T, х = [х!х2]т,
где a, b-постоянные квадратные матрицы, у - выходной сигнал, матрица
передаточных функций имеет вид
(r)(s)=_(a-5/)-16 = -r4-T r_(Q22~s) °12 1 b,
A(s) [ a2i - (an- s)J
Д ($) = S2 - (Oil + fl22) S + ПцП22 - Й12Ц21-
1.2. Показать, что для устойчивой стационарной системы задачи 1.1 при ац
= а22 = -е, а12 = - a2i = co (е, со > 0) матрица фундаментальных решений
и (t, т) и матрица передаточных функций Ф (s) определяются формулами
t - т) sinco(^-т)~
-т) cos со (t - т)
, 1 ; " т, Г cos со (t - ¦
и (t, х)=е-? ч-т> . '
' L-saifflfl - 1
_ . . _ b Г s'+ е со I
(s + e)2 + co2 L-со s + ej
1.3. Показать, что для стационарной линейной механической системы с
одной степенью свободы [80]:
~<7 ¦ " 0 l/А И
,'р - С -В/А J
74
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
где?обобщенная координата q = zx и обобщенный импульс p = Aq = z2-
компоненты вектора состояния z - [z1z2]T, х = [О Q]T - входной сигнал, y
- z- выходной сигнал системы, А (А > 0), В, С - постоянные коэффициенты,
определяющие инерционную, диссипативную и позиционную силы, матрица
фундаментальных решений u (t, т) и матрица передаточных функций Ф (s)
имеют вид и {t, т) =
Ре 1 "¦
cos сое (/ - т)-| sin сос (/ - т) -z- sin (/ - т)
03 ^ лОЗ^
А 2
= е-г <<-т)
-гг- sin юс (t - т) cos (t-т) sin азс (t-т)
(Ос
^s2 + Ss-t-C As
(2е = В/Л, (о? = шо -е2, ао = С/А).
As--\-Bs-\-C J
1.4. Показать, что для линейной нестационарной системы Zi~z2) г2 =-
ct~2z-i-f-x, t > 0, элементы матрицы фундаментальных решений и (t, т) при
2y = | 1-4с | , с < 1/4 определяются формулами
п , \ { t \ 1/г
<|+2т)(Ф)т-(|-эд (4)г;
"12 (Л Т) =
"21 (/1 Т) =
"22 (/" Т) =
(т/Д2 27 1 - 4у2
t \ У ( Т \ 7
т У V / У .
~ ( х f t \у
\Т ) \ т
(1+27) ( y)7-(1-2y) (-pV
87 (/т+2 1 / Т M/2
4V W У
Найти u (/, т) при с > 1/4 [71].
1.5. Доказать, что для нестационарной линейной системы
Z! = z2, z2 = -/-2Zi - /_1г2+х, / > 0,
матрица фундаментальных решений и (/, т) равна
"(/, т) =
, t cos In - т
т sin In
t
1 • 1 t , 1
¦ - sin In - cos In -
t X X -1
1.6. Доказать, что весовая функция g(t, х) нестационарной линейной
механической системы
имеет вид
z4M-1z + (l - n2t~2)z - x, y - z
g(t< +=+ I Jn (T) N"(t) - N"{x) Jn{t)] t,
где Jn (т) и Nn(t)-функции Бесселя первого |и второго рода соответственно
[41].
1.7, Показать, что для стационарной линейной системы z - az + bx, y = z,
z = [z1z2z3]T, х=[х1х2х8]т,
ЗАДАЧИ
75
где а, b - постоянные квадратные матрицы, у-выходной сигнал, элементы
матрицы передаточных функций Ф (s) = -(а - sl)~1b определяются формулами
