Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
t = аь 4~ Л = (79)
где ос, Р, - некоторые матрицы, в общем случае зависящие от
времени, то и определится уравнениями
г' = аг' + а1ф(г, и, t), и = j3z' (80)
при начальном условии z'(ta)~ 0, вытекающем из (75). В ре-
зультате интегро-дифференциальная система (73) - (75) будет приведена к
дифференциальной системе
z = /(z, Pz\ t), z' = az' + а,ф (г, (3z\ t), z(t0) = z0, z'(fe) = 0.
В частном случае, когда ядро w(t, т) является весовой функцией системы,
описываемой линейным дифференциальным уравнением п-го порядка (31), это
уравнение стандартным приемом п. 1.3.4 приводится к уравнениям (79) при р
= /.
Заметим, что на практике часто встречаются стационарные ядра, зависящие
от разности аргументов, w(t, т) = w0(t--т). В этом случае, если функция
w0 (i--т) является весовой функцией стационарной линейной
дифференциальной системы, то передаточная функция Ф0(s), соответствующая
wa(t - т), будет рациональной функцией параметра s и при известной
передаточной функции Ф0 (s) дифференциальные уравнения (79) получаюДся
стандартным приемом п. 1.3.7.
Другим широко используемым на практике типом подынтегральных функций F в
(75) служат функции вида
F(t, г, z, ц) = ф(0ф(г, и, т), (82)
где ф (^) - известная матричная функция времени, ф(г, и, т) - известная
векторная функция указанных аргументов, в общем случае нелинейная. В этом
случае и определяется уравнениями
и = ф(0г', z' = <p(z, и, t), z'(t0) = 0. (83)
В результате сведем интегро-дифференциальную систему (73) - (75) к
дифференциальной системе
z = /(z, Ф(*)2'. 0. г' = ф(г, ф(02', t),
г(^0) = 20, z'(f0) = 0. (84)
Заметим, что на основании формулы (26) и формулы, следующей за (28), ядро
w(t, т) всегда представимо в виде
w(t, т) = w+ (t) w~ (т). (85)
§ 1.5. СИСТЕМЫ, ПРИВОДИМЫЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
Поэтому первый метод приведения интегро-дифференциальной системы (73) -
(75) к дифференциальной в сущности равноценен второму. Однако практически
первый метод оказывается иногда более удобным.
Случаи, когда подынтегральная функция F в (75) определяется формулой
N
F(t, т, z, и)= 2 wn {t. 1)фА(г, и, т) (86)
к- 1
или
N
F(t, т, z, ")= 2 Ф/ЛО'Р/Л2. *), (87)
k~ 1
путем ввода блочных матриц
w(t, т) = [w1(t, т) . . . wx(t, т)],
Ф(Л = [ФЛ0 ¦ • • ФлЛО],
ф(г, и, т) = [ф1(г, и, т)т . . . фл-(г, и, х)т]т
приводятся к предыдущим [118].
В задачах практики часто подынтегральная функция Fв (75) известна неточно
и обычно определяется экспериментально. Поэтому функцию F можно
аппроксимировать функциями вида (77), (83) ((86), (87)) или их линейной
комбинацией. В таких задачах интегро-дифференпиальную систему всегда
можно привести к дифференциальной.
Пример 25. В динамике популяций для описания колебаний численности
совместно живущих популяций двух видов используются следующие уравнения:
Zi=HiZi, z2 = p2z2, Zi(/0)=Zlo. z2(C)=z2 о, (I)
где zx и z2 - численности популяций первого и второго вида, щ и р2-
коэффициенты прироста их численности. Если (.ц = const = ех > 0 и р2 = =
const =-е2 < 0, то численность первого вида возрастает, а второго
убывает. Однако если первый вид служит пищей для второго, то коэффициент
р2 будет переменным. Обычно принимается, что коэффициент р2 зависит не
только от количества пищи zi, которую находит второй вид в данный момент
t, но также и от ранее имевшейся пищи, т. е. от предшествующих значений
гх. Учитывая эти факты, определим р2 формулой
t
Р2 = -ea + T2Zi+ ^ Ф2(* - T)zx(T)dT. (II)
i-T.
Здесь Т0 - длительность интервала времени, на котором влияние
предшествующих значений численности популяции первого вида Zj (т)
существенно, ядро Ф2 (t - т) учитывает влияние Zi (т) на коэффициент
прироста численности популяции второго вида. Коэффициент прироста
численности популяции первого вида щ выражается аналогичной формулой
t
i*,i = e1 -Yiz2- ^ Фх (i - т) z2 (т) dx. (III)
72
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Уравнения (I) - (III) представляют собой систему линейных интегро-
дифференциальных уравнений и известны как уравнения Вольтерра [82].
Обозначим через N1(t) и У2(0 случайные функции времени, учитывающие
случайные флуктуации коэффициентов прироста и |х2, а через N3(i) и У4 (t)
- случайные флуктуации скоростей прироста численности популяций. Тогда
придем к следующей стохастической интегро-дифферен-цнальной системе:
Z,=Z,
81 - TiZ2- J Ф1 {t - x) Z2 (t) dx-\-N1 (/) t-T"
t
e2 + T2Zl+ ^ Ф2 (t T) Z4 (x)dx+N2(t)
t-Ta
Рассмотрим случай, когда ядра Ф4 (/, т) и Ф2(^, т) изменяются по
экспоненциальному закону
Ф^ - т) = у[е-%Л1-х), Ф2(^- т)=72е-^(<-т) (V)
неравны нулю для т. Так как величина Т0 обычно невелика, то, пренебрегая
при t < t0.+ T0 влиянием значений Zi (т) и Z2 (т) при x?(t - Тд, t0),
можно заменить нижний предел интегралов в (IV) t-Т0 на t0. Тогда,
принимая во внимание, что и являются весовыми функ-
циями апериодических звеньев с постоянными времени Ti=l/Xi и Т2 - 1Д2
(пример 6), приведем интегро-дифференциальные уравнения (IV) к
дифференциальным уравнениям
