Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
порядка.
Если т = 0, то выходной сигнал обратной системы определяется формулой
П
х=Ьо* 2 акУш'
k-о
Само собой разумеется, для существования обратной системы в этом случае
необходимы выполнение неравенства Ь0Ф 0 при всех t в случае одномерной
системы и обратимость матрицы Ь0 при всех t в случае многомерной системы.
При этом условии обратная система выполняет линейную дифференциальную
операцию
П
L = bt* 2 ак^к> D = d/dt,
k = 0
над входным сигналом.
^ > При О < т < п операции, выполняемые обратной системой, будут,
очевидно, включать (п - /п)-кратное дифференцирование входного сигнала. В
результате выходной сигнал обратной системы будет содержать линейную
комбинацию входного сигнала н его производных до порядка п - т
включительно. Для нахождения обратной системы в этом случае необходимо
найти эту часть
52
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
ее выходного сигнала. Поэтому положим
п-т
x = z + z1 = z+ 2 cty{l) (48)
? - 0
и определим коэффициенты с0, си ..., сп_т так, чтобы величина 2 не
содержала линейной комбинации входного сигнала у и его производных.
Пользуясь известной формулой для производных произведения двух функций,
$
{uv)^= 2 Crsu^vu~r),
r=0
кз (48) находим
п - т s
д-u) = ..ш _i_ 2 2 crscf~nyH+r) =
/ = 0 г=0 s п - т
= zu,+ 2 2 crsc\s-nyu+r) =
r=0 1 = 0 s n - m+r
=z(*>+ 2 2 с^гуш-
r= 0 k = r
После этого очевидного преобразования двойной суммы выгодно опять
изменить порядок суммирования, чтобы выделить в явном виде коэффициент
при ут. Для определения пределов внутренней суммы по г заметим, что
О г /е " - И|Г,
откуда следует, что г ^.k и г ^ k - п + т. С другой стороны, r^s и г ^ 0.
Учитывая, что возможны неравенства &>s и k-n + m<0, приходим к выводу,
что пределами суммы по г будут
шах(0, k - п + т) и min(k, s).
В результате получим
п-т+ s min(k, s)
^*) = z(*>+ ^ 2 cffizpy(tm),
k=0 r = max(0, k-n + m) m m m n-m + s min.(/?, s)
2 2 ед_-г'у"
s = 0 s=0 s=0 k= 0 r = max(0, k-n + m)
Изменив порядок суммирования no s и k с учетам того, что из k^n - m + s
следует s^k-л + m и что s^O, получаем
mm т min(&, s)
2MU> = 2 V(A,+ 2 2 сгм-руы.
s=0 ft=0 s=max (0, k-n + m) r=max(0, k-n + m)
§ 1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
53
Подставим это выражение в (31) и сравним коэффициенты при у^т), ...,у(п)
в левой и правой частях полученного равенства.
Тогда, учитывая, что mm(k, s) = s при s^.m, k^rn, получим
т s
2 2 C'sbf'glp = ак {k = m,
s = max(0, k-n + m) r= max(0, k-n + m)
Чтобы решить эти уравнения относительно са, и, ..., сп_т, изменим порядок
суммирования по г и s. Учитывая, что r^s, получим
т т
2 2 СЯ4-7' = ак {k = т, ..., п)
r = max(0, k-n + m) s=r
или, положив s = r + h,
т т - г
2 2 Crr+hbr+hc?lr = ak (k = m,...,n).
г = шax(0, k~~n+m) /г = 0
При k - ti в сумме содержится только одно слагаемое, соответствующее r =
m, h = 0. Поэтому при k = n имеем
Ь п+п - т
откуда находим
сп-т = Ь^ап. (49)
Выделив в сумме в остальных уравнениях слагаемое, соответствующее г = т,
и учитывая, что при r = m h имеет только одно значение h = 0, приведем
эти уравнения к виду
т- 1 т - г
bnfk-m+ 2 2 Crr+hbr+hcplr = ak (k=m,...,n - 1).
г = тах(0, k-n + m) h-0
Так как сумма здесь содержит только величины cL с номерами I, большими,
чем k-m (k - г > k - т для всех слагаемых, поскольку г < т), то эти
уравнения можно решить относительно ск_т. В результате получим
т-1
Ck_m =fc
ак- 2 2 с;+л+л4-г
r = max(0, k-n + m) H = Q
(k = m, 1).
(50)
Определив по формуле (49) сп_т, можно найти по формуле (50)
последовательно cn_OT_lt с0. Само собой разумеется, что
для этого необходимы неравенство Ьт^ 0 при всех t в случае одномерной
системы и обратимость матрицы Ът при всех t в случае многомерной системы.
После определения коэффициентов с0, clt ..., в (48) слагаемые, содержащие
уш уш в левой и правой частях урав-
54
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
нения (31), при подстановке в него выражения (48) сократятся, и мы
получим дифференциальное уравнение для г:
т -1
2 6*г'"= 2
k=0
k=0
(51)
где аь = а
т min (k, s)
2 2 CrMsrn(k = 0,l,...,m-l).
5=max(0, k-n+m) r - max(0,k-n + m)
Изменив здесь порядок суммирования и учитывая, что шах min (k, s) = k
npuk^m- 1, s^m и что г <' s, получим
S
k m
ak = ak- 2 2 Crsbscis~rr\
r-max(0, k - n + m) s-r
ИЛИ
ab = a
k m - r
k-"k- 2 2 с;+Л+л4-г = n-m).
r=max(0, k-n + m) /1= 0
(52)
Формула (48) показывает, что система, обратная системе, описываемой
уравнением (31) при 0 < m < я, представляет собой
параллельное соединение системы, выполняющей дифференциальную операцию
п-т
L= 2 ckDh, D - dldt,
k = 0
над входным сигналом, и системы, описываемой дифференциальным уравнением
(51) (рис. 7, на котором буквой К отмечена система, описываемая
уравнением (51)). М
Формулы (49) и (50) показывают, что обратная система может существовать
только у такой системы, у которой входной и выходной сигналы имеют
одинаковую размерность.
В частном случае стационарной системы формулы (50) и (52) принимают вид
