Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
= 2 2 Cp+iap+i+h4<h = 2 2 ^p+la^!+l+л?ft)•
h=0 1 = 0 /1 = 0 1 = 0
Подставив это выражение в (38) и положив n - p = k, получим
ft-i ft-ft
an?fe+ 2 2 Cn-k+l an~k + h + l я'н ~bn-k = 1, ..., tl 1).
li=0 1=0
Отсюда получаем рекуррентную формулу для определения функций qu .. ., q^:
k-\ k-h
Qk-o-n1 bn_k 2 2 cnn-t+ian-k^h+iqh
ft=01=0
{k=\, ...,/z-l). (40)
§ 1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
49
* Определив таким образом функции q0, qlt приведем
уравнение (37) к виду
п ( п п-1
anzn+ 2 <WZ = <Ь0-ап 2 Яп- _
1=1 V 1 = 1 s = О 1 = 0
2 as 2 9s-l ( X.
решив это уравнение относительно z" и присоединив к нему уравнения (32),
соответствующие & = 1, п- 1, получим систему уравнений первого порядка
(k= 1, ..п 1),
Zfc = Zt
П
'Za~1al_1zl + qnx,
(41)
1=1
где
Яп = ап
п- 1
К-ап 2 qtfil- 2 а, 2
1 = 1 s = 0 1=0
п-1 п S
Ьо-2 - 2 о, 2
ft=0 s = 1 1 = 1
Заметив, что
2 as 2 <7s-i - 2 2ascis-i - 2 2 ah+iQh' - 2 2 аь+1Ян)> • ¦ 1, =
1 Л = 0 ... -
s=I 1=1
1=1s=l
Л=01=1
преобразуем формулу для к виду
Яп = а,,1
п-1n-h
*><>-2 2 ал+1?лг)
/* = 0 1 = 0
Очевидно, что эта формула совпадает с (40) при & = л. Таким образом, все
функции qlt qn определяются формулой (40).
Случай т < п можно рассматривать как частный случай/когда &"=... =Ьт+1 =
0. В этом случае формулы (39) и (40) дают
Я0 = Я1=...=я"-т-1 = (r), Яп-т = а-п1Ьт,
к-1 k-h
Ьп-к' 2 2 Cn-k+fln-k + h + tfh*
Як = а-1
h-n-ml =0
(k=n - m+l,..., л).
(42)
Таким образом, мы привели уравнение (31) к системе уравнений первого
порядка (41), не содержащих производных входного сигнала х. Компоненты
векторов zlt ..., z" в (41) представляют собой переменные состояния
рассматриваемой системы. Выходной сигнал системы у находится из первого
уравнения (32):
У = ^ + ЯоХ.
(43)
50
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Очевидно, что уравнения (41) и (43) представляют собой частный случай
уравнений (21) при а0 = 0. Ь0 = 0,
0 1 0 . 0 ' Ях ~
0 0 1 . 0 Яг
а = , **1 =
0 0 0 . 1 Яп-х
- - &п а0 ап Щ - О-П 1^2 • . йп an-i - .. Яп ..
Ь = [ 1 0 ... Oj, bt = i
(44)
(45)
В данном случае выходной сигнал у явно зависит от входного сигнала х.
Однако это редкий случай, так как обычно всегда бывает т < п, вследствие
чего q0== 0 и выходной сигнал у не содержит х.
В частном случае стационарной системы все коэффициенты а0, аи ..., ап,
Ь0, Ьи ..., Ьп постоянны, вследствие чего и величины qо, qlt ..., qn,
определяемые последовательно формулами (39) и (40), постоянны. Поэтому
?$' = 0 (А=0, 1, . . ., п; 1 = 1,2,...) и формулы (40) значительно
упрощаются:
( к~[ \ qa = a-'bn, qk = a-1\bn_k- 2 яв_*+а?а (k=\,...,n). (46)
h = 0
Формулы (42) принимают вид
qa - qi = • • • - Цп-т-Х =
f k-\ \
Чк=<*?[Ьп-к- 2
h-n - rn
an-k + hclh
In-in = ап1Ьт,
{k = n - tJl-f- 1,
n). (47)
Заметим, что все предыдущие выкладки, и следовательно, и формулы (40),
(42), (46) и (47) для q0, qlt . . ., qn справедливы как в случае
скалярных, так и в случае векторных входных и выходных сигналов х и у. В
последнем случае а0, аг, ...
. . ., ап, Ь0, Ьи . .., bn, q0, qu ..., qn представляют собой матрицы
соответствующих размеров.
Пример 18. Для приведения уравнения
азУ-f-счу Н- ахУ + аоУ = Ьзх + Ь\Х + Ь0 к системе уравнений первого
порядка в соответствии с (32) и (42) полагаем y~zlt z2 = z1-q1x, z3 = z2
- q2x.
Тогда по формулам (42) найдем
<7" = 0, ?1 = аГ1&2, 1?2 = аз'1(&1 -а0?1-2ai'?i)>
Ув= а3 1 (b0 dlQx 0.2ftl азЯх а2?2 О-зЧи) ¦
В результате получим систему уравнений первого порядка (41), которая в
этом случае имеет вид
Zi = zi + q1X, z2 = z2 + q2X,
z3 = - аз 1 (a0zi + aiZ2-f-a2Z3)-WsX, У - Zi-
S 1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
51
1.3.5. Обратные системы. Системой, обратной по отношению к данной
системе, называется такая система, которая, получая на входе выходной
сигнал данной системы, дает на выходе ее входной сигнал (при
соответствующих начальных условиях). Таким образом, обратная система
производит преобразования сигналов, обратные тем, которые производит
данная система. Очевидно, что если система В обратна системе А, то
система А обратна системе В. Иными словами, А я В являются взаимно
обратными системами. Примерами взаимно обратных систем могут служить
усилитель с коэффициентом усиления k и усилитель с коэффициентом усиления
l/k, дифференциатор и интегратор.
Если данная система с входным сигналом х и выходным сигналом у
описывается линейным дифференциальным уравнением (31 )*
п т \
2адш=2мш. (31)
е=о к=о
то обратная система описывается тем же дифференциальным уравнением, но ее
входным сигналом служит у, а выходным - х.
Если т = п, то описываемые этим дифференциальным уравнением
взаимно обратные системы имеют один и тот же тип. После
приведения уравнения к системе уравнений первого порядка, как мы видели в
п. 1.3.4, выходной сигнал каждой из них будет содержать входной сигнал с
некоторым коэффициентом, а оставшаяся часть выходного сигнала будет
определяться соответствующей системой дифференциальных уравнений первого
