Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
убедиться в этом, достаточно применить формулу (20) по отдельности к
любой паре вход-выход и записать полученные пт соотношений в матричной
форме. При этом передаточная функция многомерной системы определится как
отх "-матрица, элементами которой служат передаточные функции от всех
входов ко всем выходам, рассматриваемым по отдельности.
Пример 11. Формулы примеров 3--5 показывают, что рассмотренные в этих
примерах электрические цепи представляют собой стационарные линейные
системы. В соответствии с этим найденные в примерах 6 - 9 весовые функции
этих цепей зависят только от t - т.
Пример 12. Чтобы найти передаточную функцию цепи примера 3, подставим
найденное в примере 6 выражение ее весовой функции в (20). Выполнив
интегрирование, получим
се
(20)
0
о
§1-2. ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
41
Строго говоря, эта формула определяет Ф (s) только при Re{s}>-1/Т. Однако
последняя часть этой формулы представляет собой функцию комплексной
переменной s, определенную при всех s, с полюсом в точке s =-1/Т. Таким
образом, последняя часть полученной формулы дает аналитическое
продолжение передаточной функции, определяемой формулой (20) только при
тех s, при которых интеграл сходится, на всю комплексную плоскость.
Пример 13. Подставив выражение весовой функции цепи примера 4, полученное
в примере 7, в (20), найдем передаточную функцию этой цепи 00
Ф(8)=^[в(а)-1 е~^т\ e~Sa^=>-7vb = f^-о
Пример 14. Подставив выражение весовой функции колебательного контура
примера 5, полученное в примере 8, в (20), найдем передаточную функцию
контура
CD
ф(5) =-^W I e'Ea/r_sasin""CTrfCT=T^+iTvn-
о
Пример 15. Подставив в (20) выражение весовой функции колебательного
контура, рассматриваемого как система с двумя выходами, полученное в
примере 9, найдем передаточную функцию контура
(r)(s) = [(r)u(s) (r)2i(s)]T,
где
1 Cs
ф11 (s) = t*s* + 2Z,Ts-\- 1' > фи (s) = T2s2 + 2?7s + 1'
1.2.10. Частотная характеристика стационарной линейной системы.
Ограничиваясь чисто мнимыми значениями параметра s, s = io), получаем
передаточную функцию одномерной системы Ф(1С0) как функцию круговой
частоты гармонических колебаний еш, действующих на входе системы. В этом
случае Ф(/со) определяет коэффициент усиления амплитуды входных
гармонических колебаний | О (tco) ] и сдвиг фазы arg<D(iw) выходных
колебаний по сравнению со входными как функции частоты со. Совершенно так
же в случае многомерной системы элементы матрицы Ф(/со) определяют
коэффициенты усиления амплитуд и сдвиги фаз при прохождении гармонических
колебаний от каждого входа к каждому выходу системы. Поэтому передаточная
функция системы, рассматриваемая как функция чисто мнимого параметра s =
io) (т. е. суженная на мнимую ось комплексной плоскости), называется
частотной характеристикой стационарной линейной системы.
Свойство стационарных линейных систем пропускать гармонические колебания
без изменения их формы, только умножая амплитуду на |Ф(10))| и сдвигая
фазу на -arg(r)(i<a), дающее возможность исследовать их чисто
алгебраическими методами, лежит в основе метода частотных характеристик,
который долго служил в качестве наиболее удобного и часто применявшегося
метода исследования любых стационарных линейных си-
42
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
стем ([57], гл. 2 и 4). Лишь благодаря широкому распространению
вычислительной техники метод частотных характеристик как расчетный метод
для синтеза стационарных линейных систем отошел сейчас на второй план,
уступив место современным вычислительным методам *).
С помощью частотной характеристики устойчивой системы легко вычисляется
ее установившаяся реакция на любой входной сигнал, который можно
разложить на элементарные гармонические колебания (т. е. представить
рядом или интегралом Фурье).
Предположим, что входной сигнал х устойчивой стационарной линейной
системы может быть представлен интегралом Фурье
00
х(/) = ^ с(т)еш dm.
- 00
Тогда на основании принципа суперпозиции установившийся выходной сигнал у
(при бесконечно долгом действии входного сигнала х) определится формулой
00
у (t) = J Ф (ко) с (ко) еш d&.
- СО
В частности, представив S-функцию 6(/ - т) интегралом Фурье (ТВ,
приложение 1),
СО
8(t -т)=2^ \ е1'"й-т)dco,
- 00
выразим реакцию системы на входной сигнал ]&(t-т), т. е. ее весовую
функцию, через частотную характеристику
СО
g(t, т) = w(t-т) = ¦- Ц Ф(ко)е'м^~х> dco
- со
ИЛИ
00
да (и) =2^- Ц Ф(т)еШи dco.
- СО
Так как любой ограниченный непрерывный входной сигнал, действующий на
конечном интервале времени (а только такие сигналы приходится
рассматривать в задачах практики), можно представить интегралом Фурье, то
с помощью частотных харак-
*) Метод частотных характеристик по-прежнему широко применяется для
экспериментального определения динамических характеристик различных
физических систем.
§ 1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
43
теристик можно вычислять установившиеся выходные сигналы устойчивых
стационарных линейных систем практически при любых входных сигналах.
