Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
а
Cfc-m -
ak^ak~
(k = m, ..., n - 1), (53)
m- 1
k 2 b+k - r
r-max(0, k-n + m) k
2 (k = 0, 1, . . ., m- 1). (54)
r = max (0, k - n + m)
Пример 19. Для системы, описываемой уравнением примера 18,
азу+а2у+а1у+а0у=Ь2х +Ь1х+Ь0х,
§ 1.3. ЛИНЕЙНЫЕ дифференциальные системы
55
обратная система представляет собой параллельное соединение системы,
выполняющей дифференциальную операцию
^ - co~\~ciD,
И системы, описываемой дифференциальным уравнением b2z -j- &iz--r boZ =
axy-\-a0y,
где
Ci = bz1a3, c0 = b21 (a2 - bic1 - 2b2c1), ao = ao - Vo- b\Ca - bzCQ, щ =
щ - 60Ci - biCo - b2Co --¦ b\C± - 2b2C\.
1.3.6. Передаточная функция стационарной линейной системы.
Для нахождения передаточной функции стационарной линейной системы,
описываемой уравнениями (21), необходимо положить д0 = 0, Ь0 - 0 и вместо
каждой компоненты входного сигнала xh по очереди подставить в (21)
показательную функцию est, а вместо выходного сигнала у-функцию
(r)ft(s)est, где Фл (s) - /г-й столбец матричной передаточной функции
системы O(s) (h= 1, . . ., л). При этом следует положить z = xPh (s) est.
Сократив полученные уравнения на est, найдем 4rft(s) и Oft(s). Вместо
этого можно прямо найти Ф" (s) и O(s), положив в (21) x = Iest, у = Ф (s)
est, z = W (s) est. В результате получим после сокращения на est
sT(s) = a4r(s) + a1, Ф^^бЧ^).
Решив эти уравнения относительно Ч1-(s) и Ф(з), получим
Ч1-(s) =- (a - sl)~1a1, Ф(в) = - b(a - s/)-1^. (55)
Отсюда видно, что передаточная функция стационарной линей-
ной системы, описываемой дифференциальными уравнениями (конечно,
линейными с постоянными коэффициентами), представляет собой рациональную
функцию комплексной переменной s.
В частном случае одномерной системы, описываемой уравнением (31) с
постоянными коэффициентами при m^Zn, пользуясь формулами (44) и (45) для
матриц а, Ь, находим после несложных вычислений
ф/,Л_ Vs,, +V-ls'"~1 + ¦ ¦ ¦ -f-M+feo /сеч
ans" + an_1s''-i+...+a1s + a0 ' W
Однако эту формулу можно вывести значительно проще. Поло-
жим в уравнении (31) x = pst, y = <$(s)est. Тогда, имея в виду, что
A_est = skest (? = !,..., л),
dt*
получим
(a"sn -f + ... -f ap> + a0) Ф (s) est =
"= (bmsm + + ... + + b0) est.
56
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Сократив это уравнение на показательную функцию и решив относительно
Ф($), получим формулу (56).
В дальнейшем нам будет удобно записывать дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами сокращенно в операторной форме. Для этого
введем полиномы
П
F (s) = ansn + a^s"-1 + ... + c^s + a0 = 2 aksk,
k=o (57v
m '
H(s) = bmsm + bm_lsm-1+ ... +ftlS + ft0= 2 bksk.
k=0
Тогда дифференциальное уравнение (31) запишется коротко в операторной
форме:
F(D)y = H(D)x. (58)
Формула (56) для передаточной функции одномерной системы
примет вид
Ф (s) = H(s)/F(s). (59)
Вторая формула (55) определяет передаточную функцию стационарной линейной
системы, описываемой дифференциальными уравнениями (21), при всех
значениях s, кроме совпадающих с корнями характеристического уравнения
| а-si | = 0. (60)
Однако физически эта передаточная функция существует не при всех
значениях s. Действительно, формула
l/(/) = (r)A(s)erf (61)
определяет установившуюся реакцию системы на показательное возмущение,
действующее на одном /i-м входе, не при всех значениях s. Реакция системы
на показательное возмущение, действующее на одном /i-м входе, в
общем случае представляет
собой общее решение уравнений (21), а не частное. Для
получе-
ния общего решения уравнений (21) следует к найденному частному решению
(61) добавить общее решение соответствующих однородных уравнений
z = az, y = bz.
Из теории дифференциальных уравнений известно, что если корни
характеристического уравнения (60) slf sp все различны, то общее решение
уравнений (21) представляет собой линейную комбинацию показательных
функций ..., у Pespf с произволь-
ными коэффициентами, где yj, ...,ур-m-мерные векторы, определяемые
матрицами а, аг, b в выражении весовой функции, полученном в п. 1.3.2.
Таким образом, в случае, когда харак-теристическое уравнение не имеет
кратных корней, общее реше-
§ 1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
57
яие уравнений (21) при действии сигнала est на одном /г-м входе
определяется формулой
У = фл (s)eSl + + ... + cpypespl, (62)
где с1( - произвольные постоянные. Отсюда следует, что
установившаяся реакция рассматриваемой системы на показательный сигнал
est на /г-м входе, независимая от начальных условий, существует только в
том случае, когда все корни характеристического уравнения s1( .. ., sp
имеют отрицательные действительные части, а действительная часть
параметра s отрицательна или равна нулю. Если эти условия не выполнены,
то реакция системы на сигнал est неограниченно возрастает. Однако и в
этом случае можно говорить об установившейся реакции системы на сигнал
est, если первое слагаемое в правой части (62) растет при t -"-оо
быстрее, чем все остальные слагаемые. В этом случае при достаточно
