Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
управления, изменяются.
Другим типом систем со случайно изменяющейся структурой являются
стохастические системы, которые описываются разными уравнениями в разных
областях пространства состояний. К изучению таких систем сводятся задачи
потери управления (срыва слежения) вследствие ограниченности диапазонов
изменения переменных состояния, в которых система управления может
функционировать. Изучение таких систем сводится к уравнениям того же типа
(67). Допустим, что пространство состояний системы разбивается на п
попарно непересекающихся частей Аг, ..., Ап так, что при переходе из
одной части в другую структура системы изменяется. В этом случае
уравнения стохастической системы имеют вид
Z = /(Z, S, N(t), t), Y=zg(Z, S, N(t), t),
где
s=2**4(2),
ft=l й
3 *ASZ) - индикатор множества Ак, т. e. функция г, равная 1 при г^Ак и 0
при г?Ак. Ясно, что эти уравнения принципиально не отличаются от
уравнений (67).
66
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
1.4.4. Линейные стохастические дифференциальные системы.
Дифференциальные уравнения линейной стохастической системы отличаются от
уравнений детерминированной линейной системы (21) дополнительными
случайными слагаемыми:
1 = aZ 4- ахх + (0> Y = bZ -L- b0 + bxN2 (/). (68)
В этих уравнениях N1(i) и N2(t) - случайные функции времени, в общем
случае векторные.
Вводя составную векторную случайную функцию N (t) = = [xVi (/)т Л/'а
(0Т]Т и блочные матрицы й.) = [а20], b( = [0bi], где О означает матрицу,
все элементы которой равны нулю, представим случайные слагаемые в (68) в
виде a,Nx (t)=a^N (/), bxN2 (/) = - b'2N (/). Поэтому без потери общности
можно отбросить индексы у случайных функций и записать (68) в виде
Z = aZ-j-a1x + a0 + a2iV(^), Y - bZ + bo + biN (t). (69)
При автоматическом управлении линейной системой с применением линейных
формирующих и исполнительных устройств к уравнениям (69) добавятся
линейные уравнения, определяющие требуемый и фактический входные сигналы
X* и X. В эти уравнения также могут войти случайные функции времени,
особенно в тех случаях, когда отклонение системы от требуемого режима
измеряется со случайными ошибками, которыми нельзя пренебречь. В таких
случаях, включив в состав вектора состояния системы Z все дополнительные
переменные, которые придется ввести, добавляя к (69) уравнения
формирующих и исполнительных устройств, включая все компоненты вектора
входного сигнала X, а в состав векторной случайной функции N (i) все
случайные функции, входящие в уравнения формирующих и исполнительных
устройств, приведем систему уравнений, описывающих поведение
автоматически управляемой линейной системы, к виду
Z = aZaxN (t) + а0, Y = bZ-\-bxN (t) + b0. (70)
При этом, само собой разумеется, матрицы а, а1, Ь, Ьх в уравнениях (70)
не совпадают с такими же матрицами в (69) (речь здесь идет не о
конкретных уравнениях (69) и (70), а об их общем виде).
В задачах практики отклонения нелинейной системы от требуемого режима
иногда можно считать достаточно малыми. В этом случае уравнения системы
часто можно линеаризовать относительно случайных отклонений от требуемого
режима и относительно действующих на систему случайных возмущений. В
таких случаях нелинейные уравнения, описывающие поведение системы,
заменяются приближенными линейными уравнениями в отклонениях. Это дает
возможность исследовать номинальный режим работы системы с помощью
детерминированной модели (15) илй (19), а затем изучать случайные
отклонения от номинального
" 1.4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬН L СИСТЕМЫ
67
режима с помощью более простой линейной стохастической модели (69) или
соответственно (70).
1.4.5. Линейные системы с параметрическими шумами. В задачах практики
иногда приходится встречаться с линейными системами, в которых шумы
зависят линейно от вектора состояния системы. В таких случаях приходится
пользоваться для описания поведения системы линейными дифференциальными
уравнениями с флуктуирующими коэффициентами. Флуктуации коэффициентов
уравнений линейной системы обычно называются параметрическими шумами. Для
таких систем матрицы а2 и Ьг в уравнениях (69) и матрицы ах и Ьх в
уравнениях (70) зависят не только от времени, но являются также линейными
функциями вектора состояния системы.
Таким образом, уравнения (69) в случае параметрических шумов заменяются
уравнениями
Аналогично, при автоматическом управлении уравнения (70) для расширенного
вектора состояния Z запишутся в виде
Заметим, что уравнения (71) и (72), будучи линейными относительно вектора
состояния Z и выходного сигнала Y, являются нелинейными относительно Z и
N (t).
Пример 24. Движение физического маятника с колеблющейся точкой подвеса
описывается уравнением [126]:
где ф - угол отклонения маятника от вертикали, А-момент инерции, В -
коэффициент момента сил вязкого трения, mgl-статический момент,
giV1=gA1(<) и gN2 = gNг(0 - горизонтальная и вертикальная компоненты
вектора ускорения точки подвеса, представляющие собой случайные функции
