Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
уравнений (21) и (22) постоянны и матрица фундаментальных решений и (t,
т) определяется известной формулой
aues' (f-T) aiaes"('-T) . • a lpesP"' *тГ
II a2ieSl (<-T) a22es'<*-T) . . a2pesP"- ¦t) a-1
JZpie*1 (t-X) ap2es' <*-*> . . appesP"- -T)
где slt ..., sp- корни характеристического уравнения
| а-si 1 = 0
{через | А \ обозначаем определитель матрицы А), а элементы матрицы а
определяются системами линейных алгебраических уравнений
(a - skI)[alk ... apk]r = 0 р)*).
*) Этой формулой и (t, т) определяется в случае различных корней
характеристического уравнения slt ..., sp. Формулы для u(t, т) в случае
кратных корней читатель может найти, например, в [13].
46
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Формула (26) в этом случае'дает
anes' ('-х) ... а1ре8Р"-тГ>
g(t, т) = и(/ - х) = Ь
а-1 1 (/ - т)
при t > т.
1.3.3. Определение весовой функции методом сопряженных систем.
Уравнение (22) при начальном условии и = 1 при t - x определяет
фундаментальную матрицу решений u(t, т) как функцию t при фиксированном
т. Однако формула (25) показывает, что для вычисления выходного сигнала
системы в момент t необходимо найти u(t, т) как функцию т при
фиксированном t. Для решения этой задачи обычно применяется метод
сопряженных систем.
> Положив u = u(t, ta),
Отсюда в силу (27) вытекает дифференциальное уравнение для с:
Теперь заметим, что согласно (23) и (27)
и (t, х) = u(t, t0)v(x, t0)T.
Дифференцируя эту формулу по т и принимая во внимание, что согласно (28)
iix(t, х) = u(t, ta) vx (т, ^о)т==- и (t, t0) v (т, ^")т а (т)=-ы (t, х)а
(т).
Таким образом, и (t, т) как функция т при фиксированном t определяется
при т < t уравнением
[v = v{t, t0) = и (t, t0) 1т, будем иметь при любых t0 и t > to
uv1 - I.
(27)
Дифференцируя эту формулу, получим
щи1 + uv] = О, откуда на основании (22) и (27) находим
ubTt = - auvT = - а или = - и~1а.
(28)
Мт> to)T = - v(x, t0)T а(х),
находим
ux(t, т) = - u(t, х)а{х)
с начальным условием u(t, t)~I.
Транспонируя уравнение (29), получим
ux(t, х)т - - а(х)ты(^, х)т.
(29)
(30)
§ 1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
47
Это уравнение является сопряженным с (20) ([56], § 85). Поэтому u(t, т)т
как функция т при фиксированном t определяется при т < t уравнением (30),
сопряженным с (22), при конечном условии u(t, ty = I. Это позволяет
находить и (t, т) интегрированием сопряженного уравнения (30) в обратном
времени при начальном условии u(t, t) = I.
Более подробно метод сопряженных систем изложен в [57] (§ 4.3-4.5) и в
[56] (§ 83-85).
1.3.4. Приведение уравнений линейной системы к форме Коши. Простейшие
линейные системы (звенья), входящие в состав сложных систем, обычно
бывают одномерными, т. е. имеют скалярные входной и выходной сигналы. При
этом, если дифференциальное уравнение всей системы выше первого порядка,
то оно часто содержит не только производные выходного сигнала, но и
производные входного сигнала. Поэтому важно уметь приводить уравнения
линейных систем к системам уравнений первого порядка, не содержащим
производных входного сигнала. Сейчас мы покажем, как это делается.
Рассмотрим физически возможную систему, поведение которой описывается
линейным дифференциальным уравнением
п т
2адш=2^и. (31)
А=0 k=0
где коэффициенты а0, alt ..., а", b0, Ь±, ..., Ьт в общем случае зависят
от времени t, а т^п*). Очевидно, что достаточно рассмотреть случай т - п.
Случай т < п получится как частный случай при Ьп = .. . =Ьт+1 = 0.
> Введем новые переменные
z1 = y - q0x, zk + 1 = zk - qkx (k=l, ..., n-1), (32)
где q0, qu ..., qn-! - некоторые функции t, которые мы определим из
условия, чтобы полученные уравнения первого порядка не содержали
производных входного сигнала х. Из (32), пользуясь известной формулой для
производных произведения двух функций,
Г
(uvYr) = 2 С?и{Р} v(r~P),
/7 = 0
находим
y = 21 + q0x, (33)
У{$) = zs+1 + 2 (qs-rxYr) = z,+ i + 22 CPq^pxW
r=0 r=0p=0
(S= 1.......Я-1). (34)
*) Случай m > n приводится к случаю m < я (п. 1.3.5).
48 ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Изменив порядок суммирования, получим
Уш = z,+ 1 + 2 2 C?qy.г/> (s=l П- 1). (35)
Р=0 г-р
Дифференцируя формулу (34), соответствующую's = п - 1, будем иметь
J/(n) = 2"+ 2 (Qn-r-+)(Л+1)=2"+ 2 (Яп-гХУП =
г-О г-1
=zn+x 2 Яп-1+ 2 х(р> 2 cprq<nrirp\ (36)
1 = 1 р-1 Г=Р
Подставив выражения (33), (35) и (36) в уравнение (31),
получим
п ( п Л-1 S
ajn +2^-1 Zi + \x\an 2Яп-i + 2 as 2 <7(-i г +
1 = 1 [ 1 = 1 s =0 1=0 J
+ 2^2 2 c?a^<rr/> = 2 ъ^р\ (37)
p= 1 s = p /¦=/? p=0
Сравнив коэффициенты при соответствующих производных входного сигнала дс
в правой и левой частях уравнения (37), получим уравнения для определения
функций qk:
2 2 Cpasqt~r = Ьр 0о=1 я). (38)
S-РГ-р
Последнее из этих уравнений, соответствующее р = п, дает
<7о = "л (39)
Для решения остальных уравнений (38) заметим, что
2 2 Сра^-Т = 2 Sfc?A??;-,=
* = р r = p s =р I =0
= 2 2 Cp+ia$cfs-p-i= 2 2 Cp+iap+i+htfh =
1 = 0 s = p + l 1 = 0 ft = 0
n-pn-p-h n-p-ln-p-h
