Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
длительном времени работы системы t реакция ее на сигнал est будет
практически выражаться одним первым слагаемым в правой части формулы
(62).
Для определения передаточной функции от /г-го входа ко всем выходам
системы разделим формулу (62) на est\
y/est = Фд (s) + c1Y1e<s,-s)* + ... -\-cpype^sp~s')i. (63)
Если действительные части всех разностей -s, .. ., sp-s отрицательны, то
все показательные функции в (63) стремятся к нулю при t ->-оо. В этом
случае передаточная функция системы, представляющая собой отношение
реакции этой системы на бесконечно долго действующий на ее /г-м входе
сигнал est к est, определяется одним первым слагаемым в формуле (63), т.
е. равна Фл(х). Если хотя бы одно из чисел -s, ...,sp-s имеет
положительную действительную часть, то соответствующая показательная
функция в (63) неограниченно возрастает при t->¦ оо и, следовательно,
передаточная функция системы не существует.
Таким образом, передаточная функция стационарной линейной системы,
поведение которой описывается дифференциальными Уравнениями, существует
только в области значений s, действительные части которых больше
действительных частей всех корней характеристического уравнения slt ...,
sp. Иными словами, передаточная функция этой системы существует только в
полуплоскости комплексного параметра s, расположенной справа от
вертикальной прямой, проходящей через корень характеристического
уравнения с наибольшей действительной частью (эта полуплоскость
заштрихована на рис. 8). Левее этой прямой и на самой прямой передаточная
функция не существует, несмотря На то, что вторая формула (55) формально
определяет ее при всех значениях s, кроме точек s1( ..., sp. Этот вывод
справедлив и в случае кратных корней характеристического уравнения, так
как при любом /¦ > 0 произведение tre(sk~s)i стремится к нулю
58
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Im {s}
Рис. 8
при t-±оо, если действительная часть параметра s больше действительной
части корня sk характеристического уравнения, и неограниченно возрастает,
если действительная часть параметра
s меньше или равна действительной части корня sh.
Из условия устойчивости линейной системы (9) следует, что для
устойчивости стационарной линейной дифференциальной системы необходимо и
достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического
уравнения (60) были отрицательными. Отсюда выводятся критерии
устойчивости стационарных линейных дифференциальных систем, основанные на
знании только коэффициентов характеристического уравнения (60) ([57], §
6.2). Передаточная функция Ф (s) устойчивой системы существует при
чисто мнимых значениях s, т. е. существует частотная характе-
ристика системы. Для неустойчивой системы частотная характеристика не
существует и может использоваться только в формальных выкладках как
рациональная функция комплексной переменной s, существующая при всех s,
не совпадающих с ее полюсами slt ..., sp.
Пример 20. Из дифференциальных уравнений примеров 3-5 по формуле (56)
непосредственно получаются формулы для передаточных функций, выведенные в
примерах 12-14.
1.3.7. Нахождение дифференциального уравнения пс данной передаточной
функции. Из предыдущего следует, что передаточная функция стационарной
линейной системы, описываемой дифференциальными уравнениями, является
рациональной функцией комплексной переменной s (в случае многомерной
системы все элементы матричной передаточной функции - рациональные
функции s). Справедливо и обратное утверждение: любой стационарной
линейной системе с рациональной передаточной функцией соответствует
дифференциальное уравнение (линейное с постоянными коэффициентами),
связывающее входной и выходной сигналы.
Если передаточная функция Ф (s) одномерной системы рациональна, то ее
можно представить в виде отношения двух полиномов Ф (s) = H (s)/F (s). Из
(58) и (59) следует, что в этом случае входной и выходной сигналы системы
х и у связаны дифференциальным уравнением (58). Таким образом, чтобы по
данной рациональной передаточной функции одномерной системы полу-
§ 1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
59
чить ее дифференциальное уравнение, следует заменить в числителе и
знаменателе передаточной функции переменную s оператором
дифференцирования по времени D = d/di. Полученные в результате
дифференциальные операторы образуют соответственно правую (со входным
сигналом) и левую (с выходным сигналом) части дифференциального
уравнения.
Легко видеть, что для того чтобы все коэффициенты уравнения (58) (или,
что то же, (31)) были действительными, необходимо и достаточно, чтобы все
чисто мнимые и комплексные корни полиномов F (s) и Н (s) были попарно
сопряженными.
Если передаточная функция CP(s) многомерной системы рациональна, то все
элементы CP^s) р-й строки матрицы Ф(я) путем приведения к общему
знаменателю можно представить в виде
HPq (s)/Fp(s) (P=l т\ q = 1, . . ., п), где HpAs) и Fp(s) -
полиномы. Вводя матрицу Н (s) с элементами Нpg(s) и диагональную матрицу
