Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
двумерным вектором с компонентами у4 = 10-, у2 = = г). В этом случае
автопилот вырабатывает требуемое отклонение руля б*, близкое к линейной
комбинации угла д - а0 и его производной 4. Для этого применяется
дифференцирующая цепочка, работающая в соответствии с дифференциальным
уравнением
T16* + 6* = fe(T24 + d -а0).
Истинное отклонение руля высоты б даже при идеальном быстродействии
рулевой машины будет следить за б* только до тех пор, пока руль не
ляжет на один из упоров. Поэтому зависимость б от б* нелинейна и
изображается графически ломаной, представленной на рис. 5 (характеристика
ограничителя). Обозначив эту функцию через <р, будем иметь б = ф(б*).
Приняв за переменные состояния, кроме z4 = a, z2 = a, z3 = 0, z4 = y,
величину Z5 = б*, получим уравнения движения самолета в виде
zi = z2, z2 = c0 -c22i-Ciz2 -с3ф (г5),
z3 = a(zi - а0), Zi = vz3,
Zb - \k{T3a-\-\)lTi\(z\ - а0) + {kT3jT{) z* + (60 + kz3- z3)/Tu yi=z1 +
z3, y3 - z4.
§1.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
39
Эти уравнения справедливы при мгновенном отрабатывании отклонения руля в
диапазоне его возможных значений.
Если учесть динамику рулевой машины, то отклонение руля б уже не будет
определенной функцией требуемого отклонения руля б* = г5, а будет
определяться уравнением
б = ф(б* - б, б),
где ф(б* - б, б) -функция б* - й при 6min < б < бшах, при 6 = 6mjn, б* -
8>0 и при 8 = 6гаау, 8* - б < 0 и ф(6* - б, б)=0 при б = бгп;п, б* -б < 0
и при б = бгаах, б* -б > 0 (рис. 6). Вводя в этом случае дополнительную
переменную состояния г6 = б, получаем уравнения движения самолета с
автопилотом в виде
Zi = z2, z2 = Co - c^Z\-C\Z2 - C3Z5,
Z3 = a(Zl - а0), Zj = vzs, z$ - (k (T2a-\- lJ/T'i) (zi - a0) + (kT2/T1)
z2 + (z3 - г^)/Тг - kT2gjT^v, г6 = ф(г5 - z6, ze), i/i = Zi + z3, у 2 =
z4.
Предыдущие уравнения выведены в предположении, что самолет представляет
собой абсолютно твердое тело. Если приближенно учесть его упругие
деформации в полете и движение жидких масс в его баках, то получим более
сложные модели движения, описываемые системами дифференциальных уравнений
более высоких порядков.
1.2.8. Стационарные системы. Стационарной называется такая система, у
которой при любом сдвиге входного сигнала во времени без изменения его
формы (т. е. при замене x(t) на
x(t - T) при любом Т) выходной сигнал претерпевает тот же
сдвиг во времени, тоже не изменяя своей формы (т. е. y(t) заменяется на
y(t - T)).
Легко видеть, что система, описываемая дифференциальными уравнениями (15)
или (16), стационарна тогда и только тогда, когда правые части этих
уравнений, т. е. функции /(г, х, t) и
g-(z, i), не зависят явно от времени, /(г, a, t) = f(z, х),
g(z, t) = g(z)-
1.2.9. Передаточная функция стационарной линейной системы.
Из определения стационарной системы следует, что весовая функция
стационарной линейной системы зависит только от разности ее аргументов.
Действительно, согласно определению реакция стационарной линейной системы
в момент t на единичный импульс, действующий в момент т, совпадает с ее
реакцией в момент i-т на единичный импульс, действующий в нулевой момент,
т. е. g(i, т)=g(t - т, 0) при всех t, т. Положив g(t - т, 0) = ~w(i - т),
будем иметь g(i, %) = w(t - т).
Основной особенностью физически возможных стационарных линейных систем
является то, что любая устойчивая стационар^ ная линейная система
усиливает неограниченно долго действующий входной сигнал, представляющий
собой показательную функцию est, без изменения его формы. Действительно,
положив в (14) в случае одномерной системы x(x) = esx, g(t, %) = w(t -
T), tQ =
40
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
- - оо, получаем
t t
"/(/)= ^ w(t-x)esxdi = est ^w(t - i)e~sd-'')di = est^w(a)e~sado.
Обозначив коэффициент усиления показательного входа сигнала через
получим у (/) = Ф (s) est. Это формула доказывает наше утверждение и
показывает, что коэффициент усиления Ф (s) показательной функции зависит
от параметра s. Этот коэффициент называется передаточной функцией
стационарной линейной системы.
Высказанное утверждение верно и для комплекснсгс параметра s,
действительная часть которого больше некоторого отрицательного числа.
Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что на основании принципа
суперпозиции реакция линейной системы на комплексный входной сигнал
представляет собой комплексную функцию времени, действительная и мнимая
части которой равны реакциям системы на действительную и мнимую части
входного сигнала соответственно. Конечно, при отличной от нуля мнимой
части параметра s функция Ф(э) имеет комплексное значение. Это означает,
что стационарная линейная система сохраняет форму гармонических колебаний
с амплитудой, изменяющейся по показательному закону, усиливая их
амплитуду и сдвигая фазу. При этом коэффициент усиления амплитуды равен |
Ф (s) |, а сдвиг фазы равен - arg(r)(s).
Формула (20), выведенная для одномерных систем, определяет передаточную
функцию стационарной линейной системы с п входами и т выходами. Чтобы
