Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Метод частотных характеристик включает также частотные критерии
устойчивости стационарных линейных систем ([57], § 6.3).
§ 1.3. Линейные дифференциальные системы
1.3.1. Уравнения линейной системы. В случае линейной системы уравнения
(15), естественно, линейны и, следовательно, имеют вид
г = аг + а1х + а0, y = bz + b0, (21)
где а - квадратная матрица порядка р, ах-рх n-матрица, а0 - вектор
размерности р, b-тх р-матрица, Ьа - вектор размерности т. В общем случае
а, аи а0, Ь и Ь0 могут зависеть от времени t. В частном случае
стационарной линейной системы а, а1г а0, b и Ь0 постоянны.
В некоторых случаях вектор состояния можно исключить из уравнений системы
(21). В этом случае получится линейное дифференциальное уравнение выше
первого порядка, связывающее выходной сигнал у со входным сигналом х. При
этом поведение системы можно изучать, не интересуясь ее состоянием. Так
раньше часто и поступали ([57], § 4.4, 4.5). Однако для исследования
систем с помощью ЭВМ всегда удобно представлять описывающие их
дифференциальные уравнения в форме Коши. Для этого приходится приводить
эти уравнения к системе уравнений первого порядка путем ввода
дополнительных переменных. Эти дополнительные переменные обычно и
принимаются за переменные состояния системы.
Пример 16. Уравнения движения самолета в примере 10 будут линейными, если
сделать допущение, что углы атаки и скольжения достаточна малы для того,
чтобы можно было считать все аэродинамические коэффициенты не зависящими
от этих углов, что рули не доходят до упоров и что рулевые машины
мгновенно отслеживают требуемые отклонения рулей. При больших углах атаки
и скольжения аэродинамические коэффициенты самолета зависят от этих
углов, что приводит к нелинейности уравнений движения. Другим источником
нелинейности является ограничение отклонений рулей. Наконец, учет
динамики рулевых машин всегда приводит к нелинейности уравнений движения
из-за существенной нелинейности характеристики рулевой машины ф(6*- б,
6).
1.3.2. Весовая функция. Для нахождения весовой функции линейной системы,
описываемой дифференциальными уравнениями, проинтегрируем уравнения (21).
^ Пусть u(t, 4) -решение однородного уравнения
и = аи
(22)
44
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
при начальном условии u(i0, t0) = I, т. е. фундаментальная матрица
решений уравнения (22). Заменой переменных z = = u(t, ta)v первое
уравнение (21) приводится к виду
uv + uv - auv + ахх + а0
или, в силу (22),
uv = axx +а0-
Отсюда, имея в виду, что матрица и всегда обратима *), получаем
и = ц-1 {агх+ а0).
Интегрируя это уравнение при начальном условии v(t0) - = и (t0, t0)_1 z
(i0) = z0, находим
t
f(0 = zo+S и(т> *o)_l[ai(T)*(T) + ao(T)]rfT
^0
И
z (f) = u(t, t0)v{i) =
t
= u{t, t0)z0 + u(t, *0){j"(T, ^o)-1 (t) x (т) +a0 (t)] dx.
to
Заметим теперь, что при любых t", х, t, t0^x^t,
u(i, t0) = u(t, x)u(x, t0). (23)
Действительно, u(t, t0) по определению представляет собой решение
уравнения (22) при начальном условии u(t0, t0) = I. Значение этого
решения при t ¦¦= х равно и(х, t0). Следовательно, и (t, tо) можно
рассматривать как решение того же уравнения (22) при начальном условии и
= и0 = и(т, t0) при t = x. С другой стороны, решение уравнения (22),
равное и0 при / = т, определяется формулой u = u(t, х)и0. Таким образом,
в силу единственности решения уравнения (22) при данном начальном условии
и (t, /") =
*) Из теории дифференциальных уравнений известно, что определитель
матрицы u(t, t0) выражается формулой
/7 ^
Д = | и (t, tо) | =ехр ¦! \ tr а (т) dx }• , (*)
где tra(t)- след матрицы а(т). Для вывода этой формулы достаточно
заметить, что согласно правилу дифференцирования определителя и свойствам
определителей Д=Д1:га(Д Решение этого уравнения при начальном условии
Д(^0) = |"(С' 01 = 1 определяется формулой (*). Из этойформулы следует,
что (так как показательная функция нигде в нуль не обращается) Д Ф 0
(само собой разумеется, что интеграл в (*) предполагается конечным при
всех t, t0).
§ 1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
45
= и (t, х)u0 = u(t, х)и(х, t0), что и доказывает (23). На основании (23)
u(t, t0)u(x, t0)~1 = u(t, т) и формула для z(t) принимает вид
t
z(t) = u(t, t0)z0+\u{t, x)[a1{x)x(x)+a0{x)'\dx. (24)
Наконец, подставив это выражение во второе уравнение (21), находим
t
y(t) = b(t)u{t, t0)z0+<\ib(t)u(t, x)a1(x)x{x)dx +
to
i
+ b(t) J u(t, x)a0(x)dx + ba (t). (25)
*0
Отсюда видно, что рассматриваемая система представляет собой линейную
систему с аддитивным дополнительным выходным сигналом
<
Уо (О = b(t)u (t, ta)z0 + b(t)$ u(t,x)a0(x)dx + b0(t),
to
и с весовой функцией
g(t, г) =b(t) u(t, %)a1(x) 1 (t-x), (26)
где 1 (s)-единичная ступенчатая функция, равная 1 при s>0 и 0 при
s < 0. Формула (26) показывает, что весовая функция
линейной дифференциальной системы легко находится, если
известна фундаментальная матрица решений соответствующего однородного
уравнения (22).
Пример 17. В случае стационарной линейной системы все коэффициенты
