Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
F(s) с элементами F1(s), . . ., Fm(s), представим передаточную функцию
системы в виде cp(s) = F(s)~1H(s). Тогда дифференциальное уравнение,
связывающее входной и выходной сигналы х и у, будет иметь вид (58). При
этом коэффициенты а0, аи ..., ап в выражении (57) полинома F (s) будут
диагональными матрицами т-го порядка.
Пример 21. Передаточная функция системы с двумя входами и двумя выходами
определяется формулой
-
Ф(5) =
s + al *21
- S -j- СС2 S -j- СС2-
*12 ~ S+ (r)1 *22
Здесь все элементы каждой строки матрицы имеют общий знаменатель, и,
следовательно, согласно изложенному методу
F(s) =
s + c*i О О S -(- ОС 2
H(s) =
*11
*21
*12
*22
и дифференциальные уравнения системы имеют вид
yi + ail/i " *11*1 + *12*2.
(/2 + a2</2 = *21*1 + *22*2-
Дифференциальное уравнение стационарной линейной системы можно
также|найти по заданной частотной характеристике, если она представляет
собой рациональную функцию частоты со. Для этого достаточно вспомнить,
что частотная характеристика представляет собой передаточную функцию при
s = i'co. Тогда будет ясно, что для нахождения дифференциального
уравнения системы необходимо представить ее частотную характеристику в
виде отношения двух полиномов относительно ico, Ф (ico)=E (tco)-1 Н
(fco). После этого дифференциальное уравнение системы получится так нее,
как в случае заданной передаточной функции.
60
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Чтобы получить модель системы, описываемую линейным дифференциальным
уравнением с постоянными коэффициентами, по частотной характеристике,
найденной экспериментально, следует сначала аппроксимировать частотную
характеристику рациональной функцией. После этого дифференциальное
уравнение модели найдется изложенным методом.
Ясно, что и в случае многомерной системы все коэффициенты описывающих ее
дифференциальных уравнений действительны тогда и только тогда, когда все
мнимые и комплексные корни полиномов Fk(s), Hkh(s) (&=1, ..., т\ h= I,
..., п) являются попарно сопряженными числами.
Изложенный метод получения дифференциального уравнения многомерной
системы дает одну из простейших форм этого уравнения, поскольку в каждое
из уравнений полученной системы уравнений входит только одна компонента
выходного сигнала. Вообще же задача нахождения дифференциального
уравнения многомерной системы по ее передаточной функции не имеет
однозначного решения. Одной и той же многомерной системе соответствует
бесчисленное множество различных дифференциальных уравнений, связывающих
входной и выходной сигналы. Чтобы понять это, достаточно заметить, что в
случае многомерной системы с т выходами любое уравнение, полученное
умножением уравнения (31) слева на произвольную неособенную ту.т-матрицу,
описывает поведение той же системы.
Задача приведения дифференциального уравнения многомерней системы к одной
из простейших возможных форм имеет большое практическое значение.
§ 1.4. Стохастические дифференциальные системы
1.4.1. Общая форма уравнений стохастических дифференциальных систем.
Стохастические модели систем учитывают действие различных случайных
факторов. При применении моделей, описываемых дифференциальными
уравнениями, учет случайных факторов приводит к уравнениям, содержащим
случайные функции, т. е. такие функции, значения которых при данных
значениях аргументов являются случайными величинами (п. 2.1.1).
Дифференциальные уравнения (15) для стохастической системы (точнее, для
стохастической модели системы) должны быть заменены в общем случае
уравнениями
Z = F(Z, х, t), Y - G(Z, t), (64)
где F(z, x, t) и G (z, t) - случайные функции p-мерного вектора z, "-
мерного вектора x и времени t (при этом, как правило, G от X не зависит).
Вследствие случайности правых частей уравнений (64) и, возможно, также
начального значения вектора состояния Z0 = Z (t0) вектор состояния
системы Z и выходной сигнал У
§ 1.4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 61'
в каждый данный момент t представляют собой случайные величины. Поэтому
мы обозначаем их, так же как и случайные функции в правых частях
уравнений (64), большими буквами (ТВ, п. 1.2.1). Рассматриваемые как
функции времени t, вектор состояния системы Z (t) и ее выходной сигнал Y
(t) представляют собой случайные функции времени t (в общем случае
векторные). В каждом конкретном опыте случайные функции F(z, х, t) и G(z,
t)¦ реализуются в виде некоторых конкретных функций f(z, х, t) и g(z, t)
и этим их реализациям соответствуют вполне определенные реализации z(t),
y(t) вектора состояния Z(t) и выходного сигнала Y (t), которые, очевидно,
определяются дифференциальными уравнениями (реализациями уравнений (64))
z = f(z,x,t), y = g(z,t).
Таким образом, мы приходим к необходимости изучать дифференциальные
уравнения со случайными функциями в правых частях.
В задачах практики случайность правых частей дифференциальных уравнений
обычно выражается в том, что они представляют собой некоторые вполне
определенные функции, но в число их аргументов входят не вполне
