Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Пр имер 22. Уравнения движения в примерах 1, 2 описывают сто' хаотические
модели движения различных механических систем, если силы и моменты в
правых частях уравнений представляют собой случайные функции.
Пример 23. Уравнения продольного движения самолета в турбулентной
атмосфере в режиме прямолинейного горизонтального полета имеют вид
СС -j- С]0. -j- С2<Х = С36 - Nn (/),
в - а(а-cc0)-j- JV12(i)> т| = ц0,
где в дополнение к обозначениям примера 10 Nn (t) и N12(t)- случайные
функции времени, определяемые формулами
^11 (0 - у-)-c5Wу, N12 (0 = (iiWy,
в которых Wy - вертикальная составляющая вектора скорости ветра,
представляющая собой случайную функцию координат точки пространства, a Wy
- ее полная производная по времени с учетом того, что номинальные
Координаты самолета в неподвижной системе определяются формулами I- ?0 +
г/, т] = ? = 0 (предполагается, что ось абсцисс направлена по
горизонтальной прямой, представляющей собой заданную траекторию полета).
64
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Вводя, как и в примере 10, вектор состояния Z с компонентами Zj = а, Z2 =
а, Z3 = 0, Zi = T) и входной сигнал х=б, получим уравнения движения
самолета вида (65):
Zi = Z2, Z2 = - Со-c2Zi -CjZ2-с3х -- (^),
Z3=a(Z4- a0) -)- A/j2 (^), Z4 = uZ3, K = Z4.
Остается определить входной сигнал х. Предполагая, что летчик задает
отклонение руля высоты от положения, необходимого для поддержания
заданной высоты полета, приблизительно как линейную комбинацию отклонения
угла тангажа d = 0 + a = Z1-f-Z3 от заданного значения а0 и его
производной со случайными колебаниями, можем написать
х = 6о + ?о (Zi + Z3 - a0) -j- ki (Z1 + Z3) -f- N3 (t), где 60 = (c0-
c2a0)/c3 - угол отклонения руля высоты, необходимый для поддержания
заданного значения гх0 угла атаки а, при котором 0 = 0, 0 - 0, у - 0, k0
и ki - некоторые коэффициенты, N3(t) - случайные колебания руля высоты,
совершаемые летчиком. Подставив в полученное уравнение выражения
производных Zi и Z3 из предыдущих уравнений, получим Я = бо + (&0+ ^1°)
^1^2+ ^0^3 - (^о"Ь ^1°) a0 + kiNi2 {t) + N3 (t).
Тогда уравнения продольного движения самолета в турбулентной атмосфере
примут вид
Zi = Z2,
Z2 = - [сг + сз (&o~r &ia)] (Zi-a0) - (Ci+Cs^i) Z2-c3k0Z3- Nц (/),
Z3 = a(Zi - a0) -f- N12 (/), Z4 = uZ3, K = Z4,
где
N, (t) = Nu W + cbNMV + bN, (/).
При автоматическом управлении полетом с помощью автопилота,
стабилизирующего оси самолета, угол отклонения руля высоты х = Ь
определяется теми же уравнениями, что и в примере 10, поскольку ошибками
измерения угла тангажа с помощью гироскопической системы и ошибками
рулевой машины можно пренебречь. Однако при подстановке в уравнение
формирования требуемого отклонения руля высоты 6*, производных Z4 и Z3 в
это уравнение войдет дополнительное случайное слагаемое kT2N12(t). В
результате получим уравнения движения самолета при допущении о мгновенном
срабатывании рулевой машины
Z4 = Z2, Z2 - со-C2Z1 - c4Z2-с3ф (Z5) - Nn (0>
Z3 = a (Z4-a0)-f- N12 (/), Zi = vZs,
Z-0 - [k{T2a-\-1 )/T4] (Z4-a0) -f- (kT2/Ti)Z2-p(60 + ?Z3- Zb)/Ti-\-
(kT2/Ti) Ni2(t),
Yi = Zi + Z3, K2 = Z4.
Если учесть еще динамику рулевой машины и ввести дополнительную пе
ременную состояния Ze = x = 6, то к написанным уравнениям добавится
уравнение динамики рулевой машины
= - Z" Ze),
а второе уравнение заменится уравнением
?2 = Со-C2Z1-c4Za-C3Z3 - Nn (/).
1.4.3. Системы со случайно изменяющейся структурой. В частном случае,
когда одна из компонент, скажем, Ni(t), векторной
§ 1.4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
65
случайной функции N (t) в (67) представляет собой ступенчатую случайную
функцию с одним и тем же при всех t конечным множеством возможных
значений {sx, .. ., s"}, уравнения (67) описывают поведение системы со
случайно изменяющейся структурой. Каждому фиксированному значению sh
случайной функции Ыг({) соответствует определенная структура системы,
которая описывается уравнениями
z = fiz, sk, N2(t),t), Y - g(Z, sk, N2 (t), t),
где N.2{t) - векторная случайная функция, образованная всеми компонентами
N (t), кроме При переходе Nl(t) в случай-
ный момент времени от одного значения к другому структура системы
изменяется. При этом вектор состояния системы Z может претерпевать
скачкообразное случайное изменение.
В общем случае размерности вектора состояния могут быть разными в разных
структурах. Однако этот случай легко приводится к случаю неизменной
размерности вектора состояния одной и той же для всех структур. Для этого
достаточно принять максимальную из всех размерностей вектора состояния в
различных структурах и считать отличными от тождественного нуля лишь те
компоненты векторной функции / (Z, sk, N2(t), t), которые соответствуют
компонентам вектора состояния Z в k-Pi структуре.
Задачи исследования таких систем возникают при изучении управляемых
систем в условиях, когда отдельные устройства системы управления могут
выходить из строя, вследствие чего уравнения, описывающие работу системы
