Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
второе уравнение (15) или (16) в виде
y = Um 0]г, (17)
где 1 т - единичная матрица порядка т, а через 0 обозначена тх(р - т)-
матрица с нулевыми элементами.
Применение моделей систем, описываемых дифференциальными уравнениями,
дает возможность использовать для исследования систем хорошо развитый
аппарат теории дифференциальных уравнений. Благодаря этому применение
моделей, описываемых дифференциальными уравнениями, целесообразно не
только для технических систем, но и для многих других классов систем,
изучаемых в теории управления. Разработка методов построения таких
моделей для любых систем представляет собой одну из наиболее актуальных
проблем современной теории управления.
1.2.7. Уравнения дифференциальной системы при автоматическом
управлении. При автоматическом управлении системой, описываемой
уравнениями (15), обычно вводится обратная связь по отклонению от
требуемого режима работы системы и в соответствии с этим отклонением
(сигналом ошибки) соответствующими преобразующими и исполнительными
устройствами вырабатывается входной сигнал х. Отклонение от требуемого
режима в общем случае характеризуется некоторой функцией h(y, t) = =
h(g(z, t), t) выходного сигнала y - g{z, t). Это отклонение (iсигнал
ошибки или параметр управления) образуется соответствующими устройствами,
формирующими требуемый входной сигнал х*, который отрабатывается
исполнительными устройствами, обеспечивающими условие х-* х*. Все эти
устройства обычно описываются дифференциальными уравнениями, которые в
общем случае могут быть записаны в виде
x - q>(x, и, t), м = ф(х, 2, и, t), (18)
где вектор и состоит из требуемого сигнала х* и вспомогательных
переменных, необходимых для того, чтобы привести систему уравнений,
описывающих работу формирующих и исполнительных устрсйств, к форме Коши.
Добавив эти уравнения к урав-
§1.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
37
нениям (15), получим для г, х, и систему уравнений
z = f(z, х, t), х - (р(х, и, t), u=ty(x, z, и, t).
Наконец, вводя расширенный вектор состояния системы z' = = [2татыт]т,
представим эти уравнения в виде одного векторного уравнения
i' = Uz\ t),
где fi(z', t) - [f(z, х, ty ф(а, и, /)т ф (х, z, и, /)т]т. Таким образом,
при автоматическом управлении системой ее уравнения (15), (16) совместно
с уравнениями, описывающими работу системы управления, приводятся к виду
z = f(z, t), У - S (z, t). (19)
Итак, если входной сигнал системы х вырабатывается в соответствии с
сигналом обратной связи с помощью формирующих и исполнительных устройств,
то, вводя дополнительные переменные состояния, можно формально избавиться
в уравнениях (15) от входного сигнала и привести их к виду (19).
Если используется система управления с ЭВМ, то некоторые величины в
математической модели системы управления будут дискретными и для описания
функционирования соответствующей части системы управления подходящим
математическим инструментом будут разностные уравнения. Расширенный
вектор состояния системы z должен быть разложен в этом случае на на два
подвектора z', z", z=[z'Tz"T]T, один из которых (z') представляет собой
непрерывно меняющуюся величину, а другой (г") является дискретной
величиной, меняющейся скачками в определенные моменты времени tlk)(k = 0,
1,2, ...). Вводя функцию
z'(0= 2 z;iAk{t),
k-О я
где 1 а к У) - индикатор интервала Ak = [tik), llk+1)), т. е. функция t,
равная 1, если t?[t{k), Ук+1)), и 0, если г(й+1!), мы заме-
няем в этом случае первое уравнение (19) системой уравнений
z' = /(z, t), zl+1 = q>k(zk), (19а)
где zk = \z'yz"yy = гуШ)), а фА - некоторые функции значения вектора
состояния z = [z'Tz"r]T при i - iik)(k = 0, 1, 2, ...). В данном случае
вся система является непрерывно-дискретной.
П р и м е р 10. Движение самолета в вертикальной плоскости в режиме
прямолинейного горизонтального полета при малых отклонениях от этого
режима описывается уравнениями
a-f-c1a-f-c2a = Co-с3б, 0 = a(a- a"), T] = fl0,
где a - угол атаки самолета (рис. 4), 0-малый угол наклона его вектора
скорости к горизонту, v-скорость полета, т] - отклонение высоты полета от
заданной, 6 - угол отклонения руля высоты, а0 -угол атаки, необходи-
38
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
мый для поддержания постоянной высоты полета (т. е. для уравновешивания
веса самолета подъемной силой), при котором 0 = 0, 0 = 0, т) = 0, с0, Си
с2, сз, а-коэффициенты, пропорциональные соответствующим аэродинамическим
коэффициентам самолета и зависящие от плотности воздуха и скорости
полета. Входным сигналом самолета служит отклонение руля высоты х = б,
выходным сигналом - отклонение высоты полета от заданной у = г\. За
переменные состояния можно принять Zi = a, z2 = a, z3 = 0, z4 = т].
Тогда уравнения движения самолета примут вид
Zi = Z2, Z2=C о - C2Zi-CiZ2 - с3х, z3 = a(z1~а"), Zi - vzs, y = z4.
Если управление полетом производится автопилотом, стабилизирующим угол
тангажа ¦& = =0-fcc около требуемого значения а", то за выходной сигнал
следует принять также угол тангажа •&. Тогда выходной сигнал будет
