Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
определенные величины, которые считаются случайными величинами (если они
не изменяются со временем, представляют собой параметры) или случайными
функциями (если они изменяются со временем и, может быть, в зависимости
от состояния и входного сигнала системы). Однако, если правые части
уравнений системы содержат случайные функции вектора состояния Z и
выходного сигнала Y системы, то их обычно заменяют случайными функциями
времени, которые получаются, если их аргументы Z и Y считать известными
функциями времени, соответствующими номинальному режиму работы системы. В
задачах практики такой прием обычно обеспечивает достаточную точность.
Системы, описываемые дифференциальными уравнениями со случайными
функциями вектора состояния, можно также приближенно изучать
непосредственно, не прибегая к этому приему. Подходящим математическим
аппаратом для этого является метод канонических разложений случайных
функций [56] (§ 102), [119], [102] (вып. 12).
В этой книге мы ограничимся случаем, когда все неопределенные величины в
правых частях уравнений можно считать случайными функциями времени. Тогда
уравнения (64) запишутся в виде
Z=f(Z, х, ^(0, о. Y = g(Z, N2(t), i), (65)
гДе / и g-вполне определенные функции, в число аргументов которых входят
случайные функции времени N±(t) и N2(t). Начальный вектор состояния
системы Z0 в задачах практики всегда является случайной величиной,
независимой от случайных функ-
62
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
ций (t) и N2 (t) (от действующих на систему случайных возмущений). Каждой
реализации [nt (/)т п2 (0Т]Т случайной функции [N! (t)T N 2 (t)x]T
соответствуют определенные реализации /(г, х, "i(0. 0. g(z, "2 (0. 0
функций /(г, х, N^t), t), g(z, N2(t), t), и в соответствии с этим
уравнения (65) дают определенные реализации z(t) и y(t) вектора состояния
системы Z(t) и ее выходного сигнала Y (t).
1.4.2. Уравнения стохастической дифференциальной системы при
автоматическом управлении. При автоматическом управлении системой,
описываемой уравнениями (65), функция h (у, t), определяющая цель
управления, измеряется со случайными ошибками, а в преобразующих
устройствах, формирующих требуемый входной сигнал х*, всегда действуют
шумы и помехи. Вследствие этого уравнения формирования требуемого
входного сигнала и действительного входного сигнала с учетом
дополнительных переменных, необходимых для приведения этих уравнений к
уравнениям первого порядка, запишутся в виде
Х = ф(Х, и, t), Й = ф(Х, Z, и, Nз(t), t), (661
где U - вектор, составленный из требуемого входного сигнала и
вспомогательных переменных, a N3(t)-некоторая случайная функция времени t
(в общем случае векторная). Записывая эти уравнения, мы учли, что
вследствие действия шумов, описываемых случайной функцией N3(t), вектор U
и входной сигнал X будут случайными функциями времени, и в соответствии с
этим обозначили их большими буквами. Добавив эти уравнения к первому
уравнению (65), получим уравнения
Z = /(Z, X, N^t), t) Х = ф (X, U, t),
(J = y(X, Z, U, N3(t), t).
Эти уравнения могут быть записаны в виде одного уравнения, определяющего
расширенный вектор состояния системы Zt = = [ZTXTHT]T:
Zi - fi (Z1( t),
где N4(0 = |Wi(0tAM0t]t. a
h(Zu Nt, i) = [/(Z, X, Nu 0тФ(Х, U, 0ТФ(*, 2, U, Na, 0T]T-
В результате, отбрасывая индексы у Zt и \fu заменим систему уравнений
(65) и (66) уравнениями
Z = f(Z,Nt(t),t), Y - g(Z, N2(i), t).
В задачах практики случайные функции Nx (t) и N2 (t) почти всегда
независимы. Однако случайная функция Ns(t) зависит от
Д) и N2(t) вследствие того, что в уравнения (66) входит функция h(Y, t) =
h(g(Z, N2(i), t), t) и ее полная производная по
§ 1.4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
63
времени t. Поэтому случайные функции N2(t) и Л^(^) зависимы. Вводя
составную векторную случайную функцию N (t) - [Л^ (t)T х Х^2(0т^з(0т]т.
перепишем полученные уравнения в виде
Z = /(Z, N(t), t), Y = g(Z, N(t), t). (67)
Таким образом, при автоматическом управлении системой, описываемой
уравнениями (65), добавив к уравнениям (65) уравнения формирования
требуемого и фактического входных сигналов, мы включаем эти сигналы в
вектор состояния системы и приходим к уравнениям вида (67), содержащим
случайную функцию N (t).
Если система управления содержит ЭВМ, то, как и в п. 1.2.7, разложим
расширенный вектор состояния системы Z на два под-вектора Z', Z", Z =
[Z'TZ"T]T, один из которых Z' представляет собой непрерывно изменяющуюся
случайную функцию, а другой Z" является ступенчатой случайной функцией,
изменяющейся скачками в определенные моменты времени ilk) (k - Q, 1, 2,
...). Тогда, вводя случайную функцию
Z"(t)=imA k(t)
к^О R
и полагая Zft = Z((<A)) (fe = 0, 1, 2, ...), получим уравнения,
описывающие эволюцию расширенного вектора состояния стохастической
системы при автоматическом управлении с ЭВМ:
Z' = f(Z,N(t), 0. Z;+1 = cpA(ZA, Nk), (67а)
где N (t) - некоторая случайная функция, a Nk (k = 0, 1, 2, .. .) -
некоторые случайные величины.
