Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
примера 5 добавится соотношение у2 - г1 или у2 - Су1. Отсюда ясно, что
одной компонентой весовой функции рассматриваемой системы с одним входом
и двумя выходами служит весовая функция, найденная в при?,юре 8, а для
нахождения другой компоненты следует продифференцировать полученное в
примере 8 выражение первого выходного сигнала
t
1 в~^ а~Х),Т sin "о (* - т) х (т) dx
to
и результат умножить на С. Тогда, имея в виду, что T2~LC, получим t
y2(/)z=^~ J е~^ й-т)/г j^cos Qo (t-x)--r sin co0 (t - t) x (t) dx. to
Таким образом, весовая функция рассматриваемой системы представляет собой
матрицу-столбец
g(t> т)=Г ви (J. X)
Lg2l(^.T)
где
8ll('t< т) = -fre_J(<-X)/rsinco ° -т) 1 (/ - т),
g2i (t, x)=~-e~^(t~%)IT cos co0 -t)-Др- sinco0 (/ - x)j \{t- t).
1.2.5. Типовая структура технических систем. В задачах практики
обычно удается представить модель любой технической системы с
конечномерными векторами входного сигнала, выходного сигнала и состояния
в виде соединения конечного числа линейных систем и безынерционных
нелинейных звеньев. Мы говорим о безынерционных нелинейных звеньях, имея
в виду, что практически любая нелинейность в технической системе дает на
выходе определенную функцию текущего значения ее входного сигнала. А
именно значение выходного сигнала нелинейного звена в любой момент t
представляет собой определенную функцию значения его входного сигнала в
тот же момент t и не зависит от значений входного сигнала до момента t:
ч (0 = ф (i (0).
где через l(t) и т](^) обозначены входной и выходной сигналы нелинейного
звена. Функция ф полностью характеризует безынерционное нелинейное звено
и поэтому принимается за его характеристику ([57], § 8.2).
Входной сигнал нелинейного звена в общем случае представляет собой
вектор, компонентами которого служат некоторые
§1.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
35
переменные состояния системы и, может быть, некоторые входные сигналы
системы.
1.2.6. Дифференциальные системы. Большую часть линейных систем,
встречающихся в технике, составляют системы, поведение которых
описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, вытекающими из
законов физики. При этом обычно всегда эти уравнения можно представить в
стандартной форме Коши, т. е. путем ввода, в случае необходимости,
дополнительных переменных состояния представить их в виде системы
уравнений первого порядка, решенных относительно производных. Добавив к
уравнениям всех линейных частей системы зависимости между входными и
выходными сигналами всех нелинейных звеньев, получим систему нелинейных
дифференциальных уравнений в форме Коши, описывающую нелинейную систему.
Обозначим через z(;) = [z1(^) ... zp(t)Y вектор состояния системы, через
x(t) = [Х (t) ... xn(t)Y - векторный входной сигнал, а через y(t) =
[y1(t) ... г/от(0]т - векторный выходной сигнал. Тогда дифференциальные
уравнения, описывающие поведение системы, в общем случае запишутся в виде
*)
z = /(z, х, t), y = g{z, t), (15)
где /-р-мерная векторная функция векторов z, л; и времени t, a g - m-
мерная векторная функция вектора г и времени t.
Систему с конечномерными вектором состояния и значениями входного и
выходного сигналов, описываемую обыкновенным дифференциальным уравнением
и формулой для выходного сигнала вида (15), будем для краткости называть
дифференциальной системой.
При данном начальном состоянии системы z0 = z(t0) уравнения (15)
полностью и однозначно определяют оператор системы. Заметим, что от
начальных условий всегда можно избавиться, включив их в вектор входного
сигнала. В самом деле, уравнения (15) с начальным условием z(t0) = z0
можно написать в виде
z = /(z, х, t) + z0d(t - t0), у - g(z, t) (16)
и интегрировать их при нулевых начальных условиях г = 0при t - ta + e при
сколь угодно малом е > 0. Приняв z0 за дополнительную компоненту вектора
входных сигналов, т. е. приняв за входной сигнал (" + Р)-мерный вектор х
(t) = [z%xt (t) . . . хп (0]т. можем утверждать, что уравнения (16) с
нулевыми начальными условиями полностью определяют оператор системы. В
дальнейшем мы не будем включать начальные условия в состав входного
сигнала. Эго удобно делать для линейных систем, когда за их
характеристики принимаются весовые функции. Мы же
*) Выходной сигнал обычно представляет собой известную функцию вектора
состояния системы и времени.
36
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
будем пользоваться для описания поведения систем дифференциальными
уравнениями. Тогда естественно дополнять их соответствующими начальными
условиями и не вводить в них 6-функции.
Заметим, что функция g(z, t) в формуле (15) для выходного сигнала не
зависит явно от входного сигнала х. Однако в некоторых случаях приходится
заменять функцию g(z, t) функцией g(z, х, t), явно зависящей от входного
сигнала х.
В частном случае выходные сигналы системы могут совпадать с некоторыми из
переменных состояния. В таком случае без потери общности можно считать,
что выходными сигналами являются первые т координат вектора 2, и написать
