Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
ошибок измерений {И7"} выражается через последовательность независимых
случайных величин (УД разностным уравнением (127).
> В этом случае для вычисления математических ожиданий в (133) необходимо
в общем случае знать совместное распределение случайных величин Z", Un,
Wn, Zn+X, Z'n+X+1 и распределение величины Vn+X. Для нахождения этого
распределения запишем уравнения (5.41а), (5.416) и (5.42) для непрерывно-
дискретной системы, описываемой уравнениями (115), (128) и (127), которые
в этом случае имеют вид
^,§2 (^i> Яз, А,4, р1? р2, Рз* Р4" s)/ds -
= М {t>;T(p (Zs, s) + х (Ф (Zs, s)r pi; s)} exp {iK[Zt + iWt + t +
-i/.\Zt - - i\i[Zs-{- tp2f/S-L 1рзЧ7s + iplZs }, (137)
§2 (^i> Я2> Я3" Я4, p4, p2, рз" Pt* =
- Л4 exp {ihlZt -f- iXlUf -j- iX3Wf -j- iKlZt 4- i (p1T -f- pJ)Zft+1 -f-+
1р7фл (ZA, Vh) -f ipT i 6Л?л (сол (Zh, Wh), Uh)+yh] -f i\iT3<a'h (Wfl,
Vh)},
(138)
^2(^1" Я3" ^4" Pi* P21 Рз" Рт" С 0
= gi(^i + Pi> T,2 + p2, ^з + Рэ, Я4 + р,4; /). (139)
Совместная характеристическая функция случайных величин Z", Un, Wn, Zn+X,
Z"+x+1 представляет собой значение ga(^i> К* 0, р1( 0, 0, р4; tln\
t{n+1)-0) характеристической функции
^2(^1" я2> Х3, Я4, р4, р2, р3, р4, ty s) -
= М exp {iX[Zf + Щрt + iXr3Wt + i%lZ't'' +
+ tplZs + i\PP S + ipj(r)7 i + ipl^s }
при Я4 = 0, p, = 0, p3 = 0, / = *<">, S-*/('t+T+1>. <4
Решение уравнений (137) - (139) совместно с (119), (120), (122), (133),
(129) - (131) любым из приближенных методов гл. 6 в сочетании с методом
последовательных приближений дает оптимальные значения 6", уп для условно
оптимального экстраполятора.
Пример 16. В задаче примера 14 значения 6", уп для условно оптимального
экстраполятора определяются уравнениями примера 13 с /п(tm), =
602 гл. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
= MZn+x+iZnZn. Для определения эгих моментов, а также дисперсий \Dtl
случайных величин Wn к уравнениям примера 14 должны быть добавлены
уравнения (137) - (139). Эти уравнения в нашем случае имеют вид
dgz (А.1, 72, 7,3, Pi, Рг, Рз. Р4" U s)/ds =
- М j- ipiZs- y yplZij-expfiT.iZt + fT.aZx-f
-f- i73 Wt -)- iX^Zf iu\Zsi[i2Zsтз W ? -; },
g2(ЯЬ Я2, 7.3, Xt, Pi, p2> Рз, p4; t, /(Л+ю)-= = Л1 exp {i7,iZt +iT.2Zf
+17,3W'f + iT.iZ* +i (pi + p4) Zj + j+
+ip2 [бы (Zft+Уй) +6fta^A+ 8hSZh-\-yn] + iРз (- ^л^й + Ул)}"
Решение этих уравнений совместно с уравнениями примера 14 любым из
приближенных методов гл. 6 в сочетании с методом последовательных
приближений дает оптимальные значения б", у".
ЗАДАЧИ
9.1. Показать, что фильтр Липцера и Ширяева (формулы (7.43) и (7.44)) при
произвольном процессе с независимыми приращениями W (t) и произвольной
функцией фх (у, г, t) является оптимальным в классе допустимых фильтров,
содержащих этот фильтр.
9.2. Для задач 8.1-8.4 найти условно оптимальные фильтры различных
порядков. Для приближенного решения уравнения (33) применить метод
нормальной аппроксимации, а также другие методы гл. 6.
9.3. Для задачи 8.4 найти условно оптимальные экстраполяторы в различных
классах допустимых фильтров для:
а) прогнозирования состояния самолета;
б) прогнозирования состояния с одновременным оцениванием неизвестных
параметров D и а спектральной плотности вертикальной компоненты скорости
ветра.
9.4. Решить задачи 9.1-9.3 для случаев помехи в наблюдениях,
представляющей собой стационарную случайную функцию с одной из типовых
ковариационных функций п. 4.1.5.
приложения
1. Полиномы Эрмита
Для приближенного представления распределений в теории вероятностей часто
используются полиномы Эрмита.
Пусть К-симметричная положительно определенная действительная "X "-
матрица. Полиномы Эрмита "-мерного векторного аргумента х определяются
как коэффициенты разложения производящих функций
по степеням переменных и1( ..., ип, образующих вектор " = ["! ... ип]т:
где суммирование производится по всем неотрицательным целым значениям
гпх, ..., тп [4] (п. 12.8).
Легко доказать, что Gm{x) представляет собой полином степени т.\
относительно *1, степени /л2 относительно х2, ¦¦¦, степени тп
относительно хи, в то время как Нт (х) представляет собой полином степени
/"i относительно CuXi + • • •-|-СщХп, степени "г2 относительно
c2jXi+...+с2"х", ..., степени тп относительно сгпх1-]-...-\-сппх", г №
срч-сдр-элементы матрицы С~К~1. Общая степень полиномов Gm(x) и Нт(х)
равна сумме всех координат векторного индекса т - [т2 ... т"]Т, \ т\ -т1-
г-.-+тп.
Имея в виду, что
и
Gm(x), т = 1т1 ... тп]Т, (2)
Нт (х), т = [т1 ... m"]T, (1)
х1К~1и-g- и1К~1и = ^g-xTK-1x-g- (хт- цт) /С-1 (х - и), хТи--иТКи =,-LxrK-
1x-L.(xrK-l - uI)K(K-lx - u),
(3)
заключаем, что е~х к >x!iH", (х) представляют собой коэффициенты
разложения функции е~ v л 'И/12, о = -x-j-u, в ряд Тейлора в окрестности
точки v = - х, а е~х к 2Gm (х) - коэффициенты разложения функции е~ 0
рт
ложения функции е
- v K~tv/2
кио = -х, а е х ^ ljc,/2G
20*
604
ПРИЛОЖЕНИЯ
v=- К~гх-\-и, в ряд Тейлора в окрестности точки v=- К~гх. Следовательно,
е-*ТК-'*/°-Нт{х) =
