Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
е-хТК-'Х12GmW =
dv(tm)1 ... dv(tm)n
,-vTK~>
V/2
<?l m I
dv(tm)1 ... dv(tm)n
Kv/2
Отсюда следует, что
Яя (*) = (- I **'*-*/. Gm (¦*) = (- I)1 т 1 e*rK~'xli
d^m 1
dx(tm)1 ... dx(tm)n
v=-K~,x
хТК~1х'г
d"
"-У Ky/2
L dyT • ¦ • dy(tm)n
(4) • (5)
y=K~,x
В частном случае при я - 1, /С= 1/2 из (4) и (5) получается определение
полиномов Эрмита скалярной переменной, используемых обычно в
математическом анализе [1]:
. dm
Нт(х) = (-\)гп^-е~х\ Gm(x)=2~(tm)Hm(x).
В другом частном случае при я = 1, К = 1 из (4) и (5) получается
определение полиномов Эрмита скалярной переменной, используемых в теории
вероятностей (ТВ, п. 8.2.3):
Нт (x) - Gm (*) = (- \)т е
С2/2 dm -х2/2
dx(tm)
Эти полиномы иногда обозначаются Нет(х), в отличие от других полиномов
Эрмита [1].
Докажем, что полиномы Нт (х) и Gm (х) обладают свойством
биортогональности с весом
w (х) = [(2я)" I К\)~'и е~хТк~1х/г •
Для этого выведем формулу
f е~хТк~'х/2 Hm(x)Gl(x)dx = m1l ... mn\ 5т[, (6)
У(2я)")К| J
где бтг = 1 при 1 - т и bmi = 0, если хотя бы одна из координат
векторного индекса I не совпадает с соответствующей координатой индекса
т. Вес w(x) представляет собой я-мерную нормальную плотность (ТВ, п.
4.4.1).
> Для доказательства формулы (6) перемножим почленно равенства
(1 1 ^ и?> т
ex? {- 2 (Л;Т-"Т) К'Чх-и)^=^ ~т1~~тп\
И
ехР {*т" "У и'Ки)=? TTTTTJ Gi
вытекающие из (1) - (3). В результате получим ехр ~ иТКи + хТи - - (*т-
"т) Д-1 (х - ы)| =
..mi + li ,,тп + 1п *
__ ^ и1 ' • * ип
2ш* тг\ h\ ... тп\ 1п\
е-х к lx^Hm{x)Gdxy
ПРИЛОЖЕНИЯ
605
Интегрируя это равенство по х, получаем
CD
.-и*Ки1г + \ и |" Г "ит <.х-и)-(хт-ит) К-Чх-и)/2
^ gur \x-uj-\x -и 2 dx-
¦ CD
.,тп+1п ^ T
... mnUn\ K"'Xl2Hm(x)Gl(x)dx,
Tu = ul+..
ложение 2)
где | и \г = ити = и\-\-.., -\-и2п. Отсюда, принимая во внимание, что
(ТВ, при?
J euTv-vrK-42dv = у (2я)" | К | е-иТ*"/2,
- CD
выводим равенство V (2я)"|Я I е"1+-"+"" =
цГП\ + 1\ цтп + 1п (r)
°х-,д| ..I j
- CD
^2 u2
Разложив показательные функции е *, ..., е п по степеням Mj,
при-
ходим к тождеству
__________. , "am, "зт"
У (2я)" | К | 2- '
т,! ... тп!
и?
-? ^/.Г.Г.Хт I *-*
Сравнив коэффициенты при одинаковых степенях переменных uit ..., ип в
левой и правой частях полученного равенства, убеждаемся в том, что
^ е х К 'xl* Hm(x)Gl(x)dx = 0 при 1ф
?= т
mi! ... т
ОО
j е-*ТК-**/а Нт {х) Qm {х) dx=y {2л)п | Д' | . ^
Выведем еще формулы для производных полиномов Gm (х) по компонентам
вектора х и по элементам матрицы К.
^ Дифференцируя формулу (2) по хр, получаем
глИ"1...!)"" Л ( 1 т I
?mtl ...тп\дГр°^............т"(*) = ^"р{*Т"-Т" *"( =
= 2^ тх! ... тп! ^ т" W "
т, __итп
= Xi mil ... тп\ mPG(tm)>........rnp-1......m"W-
606
ПРИЛОЖЕНИЯ
Отсюда следует, что
д "
дхр .............
(.x) = mpGnlu
. тр- 1, . . ., тп
(X).
О)
Таким образом, дифференцирование полинома Gmi _ тп п0 хр сводится к
уменьшению на единицу индекса тр и умножению результата на тр. Применив
это правило для повторного дифференцирования формулы (9), получаем
д2
- (г I 1*1 - m lm -, I I (г
, mn
дх\
¦2 "mt, . . ., Шп (¦*) тр(тр U Gmt, . . ., тр-2 тп М- (Ю)
дхр дхч
,(x)=tnptn9Gmi тр_и
, mq-1,
,т" (*)прир < q.
(И)
Аналогично, дифференцируя формулу (2) по kpp и по kpq, получаем
у т
т.
mil
пп(х) = - у"рехр |*ты - уЫтА"|> =
тп\ dkpp •
1 v-. "71 • ¦ • ЫЛ "
= - ТГ У j--------------------г (mp- 1) Gm
2 от,! ... тЛ Р Р т'>
> тр-2,
,w,
,,""л
mi! ... m"! dk
pq
. . ., mn
= - ияи9exp j;tTu -uTAu j- =
V zl
mi! ...
¦ mnmaG,
i lup,uqKJmx,
, mp-1,
w.
Отсюда следуют формулы
1
¦рр
тр- 2,
(i2)
дк
pq
(*) = - tnpm" G
p"lq mt, ... ,mp-i mq- j,
д2 "
dXp dxq ..............
mn W =
{x). (13)
Аналогично выводятся формулы для производных полиномов Нт (X). Рассмотрим
теперь последовательность неособенных симметричных положительно
определенных матриц {Ап}.
Кп =
7гц i%i2 ¦ • • kln kiss &22 • • • k2n
.kin k2
Для каждого n определим соответствующую систему полиномов Эрмита
Нт (xin)) = Hn
.{Xi хп), Gm{x^) = G,
(хи хп), где
xf-n) = [Xi ... хп]Т, m = ]"i ... тп]т. Докажем несколько теорем,
определяющих соотношения между полиномами Эрмита, соответствующими разным
значениям п.
ПРИЛОЖЕНИЯ
607
Теорема 1. При любых mlt ..., mn-i, тп
- ХТ К~*Х/ 2
е Нщ,....mn(Xl' xn-l> xn)dxn-
1 f -xTKn1xf 2
Ш J
[(2л)п -:11 Кп _! |]'":*/. ехр | у (*'т _ О К^ (*' - и') } =
1 _ " "-'Чг1*/* й
- со
(2я)" I АГп I J "
- СО
rrafi~"TK"V/2^.......................^ w (!4)
где б00 = 1, б0/г = 0 при k Ф 0, х' ==[хг ..., Xn-i]T.
Теорема 2. При любых mi, ¦.., mn-i
шП-1. о (¦*!" • • •> ¦*") ~^m1...m"_i (¦Гь ¦ • xn-i)- (15)
^ Для доказательства теоремы 1 проинтегрируем равенство (7) при
К - Кп> умноженное на [(2я)п |/Сп |]-1/Ч по хп. В результате на основании
свойств многомерных нормальных распределений (ТВ, § 4.4) будем иметь
_1_
2
со
"1 •••"п 1 Г -х J\n-X!2
= Х mx! ...тп\ V&?W^r)e mi.¦¦¦' xn)dxn,
где u' = ["i ... u"_i]T. С другой стороны, согласно той же формуле (7)
