Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
некоторое натуральное число. Соответственно, для того чтобы Zn+1 была
оптимальной оценкой Z"+x + 1, минимизирующей средний квадрат ошибки
M\Zn+1-Zn+X^112, правая часть уравнения (118) должна быть линейной
средней квадратической регрессией случайной величины ха.! на случайный
вектор Z,n(Xn, Un).
> Применяя теорию линейной регрессии (ТВ, п. 9.2.5), мы снова получаем
уравнения (119), где
Тп = М (Zn+т+1 mn+i)?n(-^n> Un)T~
= M (Zn + T + 1 mn + l) ((r)n C^n, ^n)i Un)r /и"+1 = MZ"+x(+i, (133)
a Kn, ln определяются формулами (120), (122).
Для того чтобы вычислить математические ожидания в (133) в случае
независимых ошибок измерений W", предположим, что последовательности
случайных величин {Уп} в (115) и {№"} в (116) независимы. В этом случае
достаточно знать распределения случайных величин Vn+X и Wп и совместное
распределение случайных величин Zn, Un, Un+X, Z'n+X+1 независимых от Vn+x
и Wn, так как согласно (115) Z"n+X+1 = cp'n+x(Zn+x, Vn+X). Последнее
распределение, в свою очередь, определяется двумерным распределением
случайного процесса [Z (/)т U (t)TZ"' (/)т]т, где, как и раньше, Z'" (t)-
ступенчатый процесс, совпадающий с Z' (/) в точках tin)(n = 0, 1, 2,
...). Двумерная характеристическая функция этого процесса определяется
уравнениями (5.41а), (5.416), (5.42) п. 5.3.2 для непрерывно-дискретной
системы, описываемой уравнениями (115) и (128). Уравнения (5.41а),
(5.416) и (5.42) в этом случае имеют вид
dg2(K, К, К, Hi, На, Из', t, s)/ds =
= M{/p^(Zi, s) + x(^(Zi, s)Tp(; s)}exp{zZjZ* +
- ; - iUUj • ; - ikjZt -j - i\i[Zs У 1 Lljf/5 - t'fJ-sZ/ } , (134) §2
(^T> Z2, Z3, Pj, p2, p3, /<Л+1)) =
= M exp {u\Zt ¦uXUt -mzt -j- t(HiT + Из) Zh+1 -\ ^иРф/, (Zh, Vh) -j-+
iHJ[6ASA(">A(ZA. W"), Uh) + yh]} (V/г, tih+1) > t), (135) g2 (Zj, Z2, Z3,
plt p2, p3, t, t) - gx (Zj Pj, Z2 -f- p2, Z3 Рз, /), (136)
где Pi = [p? рГ]т - разделение вектора р1( соответствующее разделению Z =
[Z'T Z"T]r вектора Z. Совместная характеристическая функция случайных
величин Zn, Un, Zn+X и Z'n+X+1 представ-
€00 гл- 9- УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
ляет собой значение g2(kt, Я2, 0, 0, р3; t(n', t(-n+x+1>) харак-
теристической функции
gi (^1> ^2> ^31 1Л> ^2> IV, 11 s) =
= М ехр {iXjZf -)- IXхUt -j- i/J,Z[ -)- iu1lZs -)- i\ixUs -)- inlZs }
при X3 = 0, p3 = 0, t - tw, s -t(n+x+x).
Решение уравнений (134) - (136) совместно с (119) - (122) и (124) - (126)
дает оптимальные значения 8п, уп в (117). После этого точность
экстраполяции может быть оценена как средним квадратом ошибки M\Zn+i-
Zn+X+112, так и доверительными областями для Z"+x + 1, которые могут быть
найдены по известным совместному распределению величин Z", Un, Zn+X,
Z'n+X+1 и распределению величины Wn (напомним, что Zn+1 = AUn+1 = = Л
[б^,, (<ов (ZB, Wn), Un) + yn] в силу (128)).
Заметим, что для нахождения совместного распределения величин Z", Uп,
Z"+x, Z'n+X+1 уравнения (134) - (136) должны быть решены для t = tln), s
? /(п+т+lj). Эти уравнения содержат б",
уп, ..., 8п±х, уп+х, которые не могут быть известными или найденными при
решении этих уравнений. Таким образом, уравнения (134) - (136) могут быть
решены только с помощью итеративного приближенного метода. Например, взяв
в первом приближении оптимальные 6Л, yh (V/г) из задачи фильтрации, можно
решить уравнения (134) - (136) с этими 6Й, yh(h = n, ..., п + т). В
результате найдем в первом приближении совместное распределение величин
Zn, Un, Zn+X, Z'n+X+1. Тогда уравнения (119) - (1'24) определят 6Л, yh
при всех h во втором приближении. После этого уравнения (124) - (126) и
(134) - (136) определят одномерное распределение процесса \Z(ty U (ty
Z"(t)T] r и совместное распределение величин Z", Uп, Zn+X, Z'n+X+1 во
втором приближении, и так далее. Этот процесс считается законченным,
когда два последующих приближения дают практически одни и те же
результаты.
Любой из приближенных методов гл. 6 в сочетании с итеративным методом
может служить для решения уравнений (134)-¦ (136) совместное уравнениями
(119), (120), (122), (133), (124)-(126).
Пример 15. В задаче примера 13 оптимальные 6", уп для условно
оптимального экстраполятора определяются теми же уравнениями, что и в
примере 13 с m(pqr= MZ^x+xZqnZn- Уравнения (133) - (135) в этом случае
имеют вид
0g2(V Х2, Х3, рх, |i2, р3; t, s)/ds =
= М - ЩхZs - ехр (iKiZf -(- ih2Zt -f- a32< -|-
+ ipi-Zs + ip27i + }>
§9.5. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ДИСКРЕТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
601
g.2(>.и Я2, Я3, ць р2, ц3; t, M + J>) =
= М exp {ikjZfik^Ztik3Zt -j-i (|х4-|-рз) ZA + 4 +
+ Щ2 [Sfti (Zft-f- + 6A3Zh + 7"]} (Vft. Рл+1) > 1),
?2 (Ai> Яз, Яз, jXii Рз" Из", P 0 =gi (^i + f*i> ^-2"rP2> Яз + Иэ! О"
Решив эти уравнения вместе с уравнениями примера 13 для б", у", gi (Ят,
Я2, Я3; с помощью итераций, как было сказано выше, находим оптимальные
значения 6", уп для условно оптимального экстраполятора.
9.5.6. Экстраполяция в случае зависимых ошибок измерений.
Теперь решим задачу экстраполяции в случае, когда последовательность
