Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
соответственно, "=["{ "г]т = х-т. Но из условия СК=1 вытекают соотношения
СцКц + СпКп - /, CxiKi2+Ci2Kii = О,
С2\К\1~\~С22К2\ ~ 0, С2хК\2-\~С22К22= К
из которых следуют формулы
Схх = (Кхх-К12К22К21) *> Ci2 = - С11К12К22 ,
С22 - (К22-К21К11К12) х, С21 = - C22K2iKii,
Кц - (Сц-Сх2С22 С2х) х, К\2 - - K11C12C2II
К22 = {С 22 - С2хСхх1Си) х, К21 = - К22С21С11 ¦
614
ПРИЛОЖЕНИЯ
Подставив вытекающие отсюда выражения Kxi и C22C2i в (1) и учитываяг что
С12 = Си, получим
h (*2 I *1) = [(2я)" | К |/| Ки |]"1/2 ехр |_1[нЗСии,+
-¦ W2C22 {C22C2xUx} {C22^C2iUi)r CggUa-f-(Сгг^иих) "ll j' =
= [(2it)n I /С I/I Ku Q"1/2 exp -j - [u2 + ^22^2101)т] C22 [нг + С^Сгтих]
j> =
= [(2л)п I К |/| АГ11 Q *^2 exp "!-[u2 - (^2i/iCii1Ui)T] C22 [u2
- /^l^n^i] J> -
Отсюда видно, что условное математическое ожидание m2 tl и условная
ковариационная матрица Кгщ вектора Х2 при данном значении хх вектора X!
определяются формулами
m^1 = m2 + K2xKTx(Xi - m1), (2)
Кг | i = C221 =/^22-KnKiiKu- (3)
Попутно получается соотношение между определителями матриц К, Кц и К ац:
I К% , 11 = | Kn-KuKiKu | = | К |/| Кц |• (4)
Условные моменты высших порядков вектора Х2 при Х1 = д:1 выража-
ются через условное математическое ожидание т2^1 и условную
ковариационную матрицу 11 обычными для нормального распределения
формулами (ТВ, п. 4.5.3).
5. Статистическая линеаризация типовых нелинейных функций *}
А. Функции скалярного аргумента
Ф (X) я ф0 (m, D) + kx(m, D) X",
Х° = Х - т, т = МХ, D=M\X°\*,
?1 (т, D) = d<po(m, D)/dm,
г
Ф (z) = -jL='[e-t*/idt, Ф'(г) = -^=ге-г21\
V 2п J V 2л
Z=m/Z"B, Й = (т + а)/^5, G = (m - a)/VD.
Б. Функции векторного аргумента
ф (К) я фо (т, Ю + Ыт, К) X",
Х°==Х-т, X = [Xx ... X"]T, т = Л1Х = [т1 ... /л"]г,
К = МХ°Х0Т, kx (т, K) = [(d/dm)<f0(m, Х)]Т, v=[vt ... V"]T, IV^Vj+.-
.+Vn,
ер = [0 ... 1 ... 0]т, kp*=lki... kpn] (р=\, ..., n) **).
р
*) Приведенные в табл. 1 и 2 формулы для ф0 для типовых нелинейных
функций дают возможность находить ф0 для любых линейных комбинаций этих
функций.
**) kpq (р, <7=1, ..., л) - элементы ковариационной матрицы К¦
ПРИЛОЖЕНИЯ 615
Таблица 1
ф (X) Фо (т. D)
1(Х) 0,5+Ф (?)
1 (X -а) 0,5 + Ф(?а)
sgnX 2Ф(С)
X2 а г=т2+?)
X2sgnX 2 [(m2 + D) Ф(Й + т/5Ф' (S)]
X" а3 = т (яг2+ 30)
Хп (и = 2, 3, ...) ая = яга"_1+(п-1)ОаЛ_2, а0=1, ai - rn
еаХ р0 = еат+агд/г
ХеаХ Pt=(m+flD) eam"a'Dl2
ХпеаХ (п=2, 3, ...) Рn = (m-j-aD) РЛ _х + (я- 1)
sin аХ Уо = е~а'°^2 sin am
cos аХ yo - e~a'D/2 cos am
X sin аХ ff=e_a2-D''2 (aD cos am + m sin am)
X cos аХ yl=e~a,D^2 (m cos am - a?) sin am)
X"sinflX (п - 2, 3, ...) ysn = аОуп_1+ mvn-i+ (и - 1) ?>1>n-2
Хп cosaX (я = 2, 3, ...) Т^=я17Й-1-aOf^-i+Cn - 1) Ovn-s
1 при X > а 0 при | X | <а -1 при X < -а Ф(Й)-Ф(Ю
1 при X > а IX 1а при | X К л -1 при X < -а (//а) {(m+a) Ф (Й) - (m-а) Ф
(fi) + + Т^5[Ф'(Й)-Ф'(й)]}
XI (X) т[0,6+Ф(01 + УГ5 Ф' (f)
616
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица 2
Ф(Х) Фо (т, К)
ХхХ"
Х±Х%Х3 mitTl2tTl3 "f- "Ь /П2&18 -f- /723^12
Х^ ... XI" Vi v" - целые неотрицательные, | V | > 1 Tl ccv = mpav_ +
J vrkprav_ - r= 1 kppav-2ep' ao=l. aeP~mP
$ep = (mp + kpa)eaIm + aTK°l*
XI1 ... Х1п е"Тх Vi v" - целые неотрицательные, 1 V | > 1 Tl Pv =
(/nP + V) К-ерЛ- 2 VvPv-ер-е,-r- 1 - kpp$v-2ep
sin агХ y% = e~a Xa^2 sin arm
cos ат X Yg = e-aT^/2cos arm
Xр sin атХ T ylp = e~a Ka/2 (kpa cos + sin arm)
Хр cos атХ У°ер=е~а Xal2 (mp cos aTm - kpa sin aTm)
Х\1 ... Xvnn sin атХ Vi v"-целые неотрицательные, | V | > 1
У1=краУу-гр+трУу-еЛ n "Ь "^^УткртУу-ер-ег ^PpTv-2e&|
... Ххпп cos атХ Vi, • •., V" - целые неотрицательные, | V | > 1 1
ycv=rnpycv_ep-kpaysv_ep+ j n "Ь 2 УгкргУх-ер-ег ^ррУ\--2ер r=l
ХтаХ tr {a (K-\-mmr)}
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица 2 (продолжение)
ф(Х) Фо(т, К)
sgn (Хх-asgn Хг) [l-2Ф (т)) - - 2^12^1(r)' (t))/J^"fen (fellfe22- ^12)j
Ф!.т1! -+ [1 + 2Ф(ц) + -\-2k12m^' ^11 (^11^22-^12)] ФСЧа)-!-+2?12Ф' (п)
[Ф' Ш-Ф' (n?)]IV Ацйи-аЬ т] = (кцт-г - ^i2mi)/^ fen (^11^22-^12). ni =
(.mi + a)/Y'kii, г\а=(т1-а)/У'кГ1. (Приближенная формула для малых
?12o/VЙц (fenfe22-fel2))
6. Стохастические дифференциалы Ито типовых нелинейных функций
А. Функции стандартного винеровского процесса
Таблица 1
U = q> (W) du
Wa aWa~1dW+1/2a (a-l)Wa~2dt
eaW aeaW dW-\-1/2a2eaW dt
a^' aw In a dW + 1haW In2 a dt
logb aW a dW a2 At W\nb 2W2 \nb
sin aW a cos aW dW - 1/2a2 sinaH7 dt
cos aW - a sin aW dW-1/2n2 cos aW dt
tgaW " dW+a*S?aJ dt cos2afl7 cos3afl7
ctg aW 11 J1V7 1 a2 C0S aW 11 • 2 TV7 • 4 \V7 sin2 aw sm3att?
618
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица I (продолжение)
11 = Ф(1Р) dU
secaW7 a sin all7 , a2 (1 sin2 a W) cos2 alt7 1 2 cos3 all7
cosec aW a cos alt7 , a2 (l-f- cos2 a W) sin2 alt7 1 2 sin3 alt7
arcsin a W CL CL 3 U7 dW+- dt V1 -aW2 2 V (1 -a2r2)2
arocos aW ~a .w °3W V l-a2W2 2 У (1 -a2W2)3
arolg a W a dll7 a3'*7 df l + a2^2 (l + a2H72)2
aroctg aW п пЬЦ7 dW 1 d/ l + a2^2 1 (l + a2H72)2
shaW achaWdW+1/2a*shaWdt
ch aW a sh alt7 dW-\-1/?.аг ch alt7 dt
th aW a a2 shalt7 ch2 alt7 гс^ай7
cth aW a dll7 I a2 dt sh2 alt7 1 гБ^ай7
arsh a W a dlt7 _ a3B7 dt 2К(1 + а2Г)3
