Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
последовательного соединения условно оптимального фильтра с усилителем с
коэффициентом усиления е и сумматором, вводящим неслучайное слагаемое h.
§ 9.5. Условно оптимальная дискретная фильтрация и экстраполяция
9.5.1. Постановка задачи. В настоящее время фильтрация, как правило,
осуществляется с использованием ЭВМ. В таких случаях фильтры, описываемые
дифференциальными уравнениями, не могут быть непосредственно
использованы. Такого рода фильтры могут применяться только с помощью
какого-нибудь численного метода интегрирования дифференциальных уравнений
с соответствующей дискретизацией наблюдаемых процессов. Таким образом,
естественно ограничить класс допустимых фильтров дискретными фильтрами,
использующими дискретные наблюдения. Идеи условно оптимальной фильтрации
и экстраполяции легко могут быть распространены и на этот случай.
Те же рассуждения, которые привели нас к классам допустимых фильтров,
описываемых дифференциальными уравнениями, подсказывают мысль
использовать дискретные фильтры, описываемые разностными уравнениями, и
дискретные наблюдения.
Таким образом, мы приходим к следующей задаче. Процесс
со
z = [Z'(otz"(ot, z"(t)= 2 z;u(a
k= 0
определяется стохастическим дифференциальным уравнением Ито и разностным
уравнением вида
dZ' = 4{Z,t)dt + 4(Z,t)dW, rn+1=ti(Zn,Vn), (115)
гдеф,-ф,ф^-известные функции указанных аргументов, Zn=Z(t{n))- значение
процесса Z (t) в момент t = t{n) = t0 + лЛ (л = 0,1,2,...), 1ла(0 -
индикатор интервала [Тш, ^(fc+1'), W (t) и {У"}-взаимно независимые
процесс с независимыми приращениями и последовательность независимых
случайных величин. Некоторая функция вектора Z и t наблюдается в моменты
времени tln) = t0 + лЛ (л = 0, 1,2, ...). Из-за ошибок измерений (шумов)
результаты наблюдения определяются формулой
Xn = co"(Zn, Wa),
(116)
§9.5. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ДИСКРЕТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ 593
где <й" - некоторые известные функции указанных аргументов, {Wn} -
последовательность случайных величин (ошибки измерений). Задача состоит в
том, чтобы оценить значение Zn - Z(t{n)) процесса Z(t) при t = t{n) или
его будущее значение Z"+T после получения результатов наблюдений Х0, Xlt
. . ., Хп_1. Ошибки измерений Wп обычно независимы от процесса W (t) в
(115). Поэтому в дальнейшем предположим, что последовательность случайных
величин {Wn} в (116) независима от процесса W (t) в (115).
Если функции ф, ф, tpn в уравнениях состояния (115) и, возможно, функции
со" в уравнении наблюдения (116) зависят от конечного числа неизвестных
параметров, подлежащих оценке вместе с вектором состояния системы, то,
заменив вектор состояния расширенным вектором состояния, содержащим все
неизвестные параметры, сведем задачу обычным путем к задаче, поставленной
выше.
9.5.2. Классы допустимых фильтров. В соответствии с соображениями в
п. 9.5.1 определим класс допустимых фильтров формулой Zn - AUn и
разностным уравнением
Un+i = Un(Xn,Un) + yn, (117)
где А-'Некоторая постоянная р X -V-матрица, N^p, ранга р, - некоторые
известные функции (в общем случае векторные функции размерности г), 6" -
произвольные (IV х г)-матрицы, а У п-произвольные (.V X 1)-матрицы-
столбцы. Каждому выбору значений 6", уп соответствует определенный
допустимый фильтр, а все возможные значения 6", уп определяют класс
допустимых фильтров для данных функций Различные последовательности
функций {?"} определяют различные классы допустимых фильтров. Каждому
выбору {?"} соответствует определенный класс допустимых фильтров.
Последовательность функций {?"} в (117) может быть, в принципе,
произвольной. Но точность фильтрации зависит от выбора {?"}. Таким
образом, встает вопрос о рациональном выборе {?"}. Априори можно только
сказать, что чем больше размерность векторных функций тем выше может быть
точность фильтрации. Некоторые указания на то, как выбрать функции ?я,
могут быть получены путем замены уравнений гл. 8, определяющих
приближенно оптимальные оценки, соответствующими разностными уравнениями.
Мы примем за оптимальный такой допустимый фильтр, который минимизирует
средний квадрат ошибки M\Zn + 1-Zn+1|2 или М | Zn+i-Zn+X+112 на каждом
шаге (при каждом п) путем выбора 6", у"в (117) при данных значениях 6Л,
yh,h^n-1, найденных в результате предыдущих шагов. Такой фильтр
называется условно оптимальным фильтром. Значения 6" и уп в (117),
соответствую-
594. ГЛ. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
щие условно оптимальному фильтру, принимаются за оптимальные значения и
уп.
Само собой разумеется, что все, что было сказано в п. 9.1.4 о характере
задач условно оптимальной фильтрации, относится также и к задачам условно
оптимальной дискретной фильтрации.
Уравнение (117) показывает, каким образом допустимый фильтр использует в
каждый момент времени /(п+1) информацию, содержащуюся в предыдущих
результатах наблюдений Х0, Хг, . . ., Хп^. А именно эта информация
используется только через [/". И только текущий результат наблюдения Хп
