Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
(100).
В отличие от случая п. 9.4.1, построенный таким путем условно оптимальный
фильтр в общем случае не будет оптимальным в классе всех линейных
фильтров. И лишь в частном случае, когда помеха в первом уравнении (84)
представляет собой m-мерную векторную случайную функцию, определяемую
линейным стохастическим дифференциальным уравнением s-ro порядка, не
содержащим производных белого шума в правой части, Ь13 - = /т, а
производные s-ro порядка компонент вектора состояния, входящих в первое
уравнение (84), не содержат белого шума, найденный изложенным методом
условно оптимальный линейный фильтр будет оптимальным в классе всех
линейных фильтров. Предоставляем читателю самостоятельно проверить, что в
этом случае даваемый изложенным методом фильтр совпадает с фильтром п.
9.4.1 для наблюдаемого сигнала, преобразованного системой, обратной
формирующему фильтру помехи (п. 7.3.4).
Пример 12. В задаче примера 7.2 условно оптимальный линейный фильтр,
найденный изложенным методом, совпадает с абсолютно оптимальным фильтром
примера 7.2.
9.4.4. Экстраполяция при автокоррелированной помехе. Применим теорию п.
9.3.6 для нахождения условно оптимального линейного экстраполятора
состояния линейной системы с параметрическими шумами. Уравнения (10)
имеют в этом случае вид
Y - bnY -\-bnZ -\-b13N -{- ?>ю" dZ = (anZ + a10) dt + (c10 + 2 clrZr^)dWu
\ r=l J
('
dN = (a23N + a20) dt + ^c20 +
а класс допустимых экстраполяторов определяется уравнением (90), в
котором Ьи Ь2, Ь3, Ь0 находятся по формулам (86) и (89) при an = 0, a13 =
0, a21 = 0, а22 = 0. Коэффициенты с3г (г = 0, 1, ...
2 с2гмг )dw"
г= 1
(106)
590 гл. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
К) в соответствии с условиями п. 9.3.6 определяются в этом случае
формулой cSr = bs3c2r, a bs2clr = О (г = О, 1, р).
> Подставив выражения функций <р, ф^+1 и из (106) и (85) в (59) и (52),
находим, как и в п. 9.4.2,
^02 = (е^г Кгг ) ^s+l, 2 "Ь (е^гп К zn) ^1+1. 3>
^22 = &$2^22^S2 )
где е = ц(^ + Д, t), u(t, т) -решение однородного уравнения du/dt = a12u
при начальном условии ы(т, т) = /, а
h
(r)22 = ^20^2^20 "Ь 2 (Гго^г^гл ~Ь C2rV2C2o) W-m + р + г ~Ь г= 1 h
+ 2 c2j.vsc;, (rnm+p+rmm
+ р + q + р + Гу т + р + ,). (Ю7)
г, <7= 1
После этого (18) дает следующую формулу для оптимального значения |3:
Р = {(е/С,-Я5г) &J+ll 2+ (гКгп-К~п) Ы+1. МЬ^ЬЬ)-1. (108)
Подставив выражения функций <р, (pJ+1 и i из (106), (85) и (90) в (60) и
учитывая вытекающие из условия несмещенности оценки и условия
некоррелированности ошибки с | соотношений
К-~у = гКгу, К2=вКг;,
получаем из (22) систему уравнений для оптимального значения а:
a1Kx+a2Kyx + a3K-x = = - P&i+1, iKyx + {"и (t + A) -P&s+i, 28"1} КЪс-
P&i+i, 37Cn^,
alKxy + а2^у + ^ -
= P^S+ 1, 1-7C(, + {#12 (^ + A) P&.J+ l, 26 *} K^y P^S+1, З^пу"
ai^xi ^~a^yz "I" aS^z ~
= 1, + {^12 + A)--26 P^s+i, 3-K"9 • (Ю9)
Эта система уравнений получается из (93), если заменить aи и а13 нулями,
а а12 и &#+1,2 - величинами а12(/ + А) и &J+i, 2е-1. Поэтому оптимальные
аь а2, а3 определяются формулами (98) и
(96) с такой же заменой.
Чтобы найти оптимальное значение у, заметим, что в рассматриваемом случае
т2 {t + А) = гтг (t) + h (t) = втг + h,
§9.4. ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
591
где
t + А
h(t)= ^ u(t + А, х) а10(х) dx.
.(110)
Тогда, пользуясь формулами (15), (51), (60) и (96), найдем
у = а10 (/ + А) - (аф3 + №s+lt3)mn + [я12 (t + Д) - а3] h, (111)
где тп определяется формулой (101).
Для нахождения а, (5 и у по полученным формулам необходимо знать, как и в
п. 9.4.3, т, К, R, и К~п.
Математическое ожидание т и ковариационная матрица К случайного вектора Q
= [FrZrMT]T определяются уравнениями (102) и (103), в которых
~bi 62 *3 'bo '0 0 '
A = 0 a12 0 I <4g a10 CO 0 II c10 0
_o 0 a23_ _ Ч20 _ _0 C20 _
= 0 (г = 1, ..., т),
с3г =
С ft г '
(r = m + 1, • • •, т + р),
(r = m + p+ 1, ...,m + p + h).
- 0 (Г
г-т 0
о 0.
'0 о
о о
с2, г - т -р -I
Чтобы получить уравнение для R, воспользуемся формулой (65). В
результате, имея в виду, что т~ (t) = mz (t + А) и
М [zt+\-mz V + А)] z?+a = еКгвТ.
M(Z-m;)Zj+A^K ^ = К ; = вК~,
R = вMzeT-eM2; -М9гет + М; = гК^-К~ ,
получим
= а12 (/ + A) R + Ra12 (t + А)Г-P&j2CT22^s2PT + Оц (/-(-А), (112)
где ст22 определяется формулой (107), а
р
°11 = TjoVjCxo + 2 (c10ViCir -f- clrv1cj0) tnm + r
r= 1
p
+ 2 clrv1clq(rnm+rmm+q + km+^m+q). (113)
r, <7=1
Матрица K~n определяется в рассматриваемом случае уравнением
Kzn ~ азКгп "1" К 5"а1з+ (а2 + al^l + Р&Я-1, l) Куп + + ((r)1&2 + pl'i+i,
2) Kzn + (ai&s -ppi'i+l, з)Кп- (114)
592 ГЛ. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ фильтрация и ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
Интегрирование уравнений (102), (103), (112) и (114) при соответствующих
начальных условиях с найденными а и Р и последующее определение у по
формуле (111) полностью решает задачу нахождения условно оптимального
экстраполятора. М Из доказанного в конце п. 9.4.2 следует, что найденный
условно оптимальный экстраполятор может быть представлен в виде
