Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
еХр \(х'Г-~и'Т) Кп-Лх' - "')| =
С-СГ* .-х'ТК-^х'/2 ц
mi! ... тп^\ 6 Н...................................... Xn - i)'
Умножив это равенство на [(2я)'г~11 ^n_i |]~1/2 и сравнив коэффициенты
при одинаковых степенях иъ ..., ип в правых частях полученного равенства
и предыдущего равенства, убеждаемся в справедливости формулы (14).
Для доказательства теоремы 2 положим в (2) при К-Кп ап = 0. Тогда получим
I 1 "> ит' и"1"-1
"р .< ,-v-y
"¦%._,")=?..............................................................
С другой стороны, та же формула (2) да it
( 1 'I Umi umn-'
"""" ".-.)¦
Из сравнения полученных двух формул вытекает (15). ^
Следующие две теоремы дают соотношения между полиномами Эрмита,
соответствующими разным п в пределе, когда kpn = kp, n_i (р= 1, ..., п -
1), ^nn - kn-i, л-i. т. е. в случае вырожденного нормального
распределения N (0, Кп)- В этом случае координаты Хп-\ и Хп случайного
вектора X = = [7^ ... Х"_1Хп] с вероятностью 1 совпадают, Х" = ХЛ_!. При
этом плотность
v" (X) = [(2я)" I Кп |]-t/s ехр {- хТКп:1х/2}
заменяется соответствующей вырожденной нормальной плотностью (ТВ, п.
4.4.6)
(х) = [(2я)п_11 Kn-i1Г'/г ехр {- х'гКп-1 *'/2} 6 (хп- n-i)-
608
ПРИЛОЖЕНИЯ
Теорема 3. При крп = кр,п_1 (р=1, .... п- 1), knn = kn_lt г тП-1
2 CL-1Wmi тп.г-к. Л*Ь *4-1. *"-0 =
fc=0
^ mn~i(X 11 *n-l)- (16)
Теорема 4. При kpn = kp^n^1 (р= 1, .... /г-1), knn = kn_lt n_i rrin-i.
mn (Xl' ' ' ' ' *4-1' *4-l) . . ., mn_i +mrt (*1.*n-l)- (17)
Для доказательства теоремы 3 заменим в равенстве (7) при К = Кп, ип -
ип_х, умноженном на [(2п)п |/С" | ]-'/г, гг-мерные нормальные плотности
wn(x) и wn(x - и) соответствующими вырожденными нормальными
плотностями wn(x) и wn (х - и). В результате после сокращения на [(гл)"-
11 Кп-11 ГЧг получим
ехр у (х'* -и'Т) Knh {х' ~"')} " (*" -хп-1) =
^ -1 + тп -х'тк-1*72
""Х тх\ ... т"_!!тп!'е Н ...........т4(*ь *п) 8 (Хп~~ ¦Xn~l)'
Так как правая часть здесь равна нулю при хп Ф х"_1) то хп в ней можно
заменить на *"_i, не нарушив равенства. Тогда получим
ехр у (х'т-и'1) K~i1(x' - u/) S(x"-x"_i) =
ипч umn-i+mn т 1
у-' 1 •••¦"-! g * Кп-1Х I2 ^
mi! ... m"_il m"!
X^rjit....mn (*b ' ' ' ' *4-1' *4-1) 6 (*n '*4-i)-
Из этого равенства двух обобщенных функций вытекает равенство
коэффициентов при 8-функции:
ехр у (х'т - п'т) К"-1 (*' - "')
^ + -х'т/С-11Ж7= ,
~Z. Ml! m" (*i> • • ¦. *4-i, *"-i).
Собрав вместе слагаемые, соответствующие одинаковым значениям
"п-1 + отп = Л получим
ехр
mi Un- 1 -X'TK*V/2
.у "i
mi! ... m"_2! I-
I
b\Tl - k\~Hmi l-k,k(X *4-1' *n-l).
fe = Q ''
или. заменив l на m"^b
Г I ) ^ и?*... и -x'TK-V/a
ГЯ"__ 1
X 2 Cmn-1Hm1 """-ul*!. •••' *4-1' *4 l)¦
A=0
ПРИЛОЖЕНИЯ
609
С другой стороны, (7) при 7C = 7Cn-i дает
еяр {--",T) -"')} =
~S mii... m"_ii * m"...................•••'
Из сравнения полученных двух выражений одной и той же функции следует
(16). -4
> Для доказательства теоремы 4 положим в (2) при К~Кп
Хп Хп - 1, kpn^kpiTi-1 (р - 1 * *••> ^ 1)" ^пп - ^п-1, п-1*
Тогда, учитывая, что при этом
Л- 1 77-2
итх--^итКпи.=У^ UBXp+ UnXn^! - У ^ kpqUpUg~
р= 1 р. <7-1
71-2
71-1 (M/l-lTWn) UjP 2" ^71-1. 77-1 (ИП-1+Йп)
77-1 77-1
vPxp-'2 S kpqvpLlg = vTx'- р=1 Р.<7=1
где о = [У1 ... p"-i]T, Pi = "i, .... t'n-2 = "n-2. -'.i-i = "n-
i + "n> получим
exp <juTx-итД"ы | =exp |oTx' - -i-oT/Cл - io|- ==
= L mil ... /я"!" C- m" (JC1' • • " ;Cn-1' Xn~l}'
С другой стороны, (2) дает
/ , X f,mi ",777п_1
exp ^ '"n-.(JCl' "n-l)==
S /щ! ... ra"_!! m* m"->( ..................... n
"nil ,mn_l~k k
=smi?.::(m:::-^G-................
или
f 1 1 uWl
exp *"_!).
Из сравнения двух полученных формул для ехр {vTx' - vTKn-iv/2} вытекает
(17). 4|
Для изучения других свойств полиномов Эрмита читатель может, обратиться к
[4].
2. Полиномы, ортогональные по отношению к ^распределению
Для приближенного представления распределений возможно использование
ортогональной системы полиномов S" (и):
,v
S"(") = (- kyvu-aekn--(иа+уе~*а), a > -1. (1)
du -
610
ПРИЛОЖЕНИЯ
Полиномы S"(h) связаны с полиномами JIareppa L%(x) [4], (пЛ0Л2),
соотношением
S" (и) = (-6)-vvI L" (ku).
Выполнив дифференцирование в (1), получим
(")=(-*r?; (2)
ц=0
Производящей функцией этих полиномов служит
US/( 1+S/k) (r) -V
"м=а+^-7-Ьтг"<"Г
Для доказательства ортогональности полиномов S" (и) и (и) доста-[О докаг
."+1иа J Г(а+1)
точно доказать ортогональность S" (и) степеням и\ X < v. Имеем
(r) Ьа+1ца 1
г^-e-^-S^{.u)(kuy'du
, "г Г(м + у + 1) , ,чЦ Г(а + А, + р + 1)
( ") 2^ Cv Г(а + р + 1)( } Г(а+1)
ц = 0
разобьем эту сумму на две, учтя при этом, что С?= С^_!+ С$-1, 0 < р < v,
=с?_х = Cv = Cv-i = 1. Тогда получим
r u-vV1 / nHH-1 Г (а+v+1) Г (а + А, + р+1) ,
= (-*) 2- (->) Г(а+р + 1)Г(а+1)-------+
ц = 0
I < i.*-v V4 с i\n+i /-Ц Г (a + v +1) Г (а + ^+(^ + 2)
+ (-*) С-х г(а + р + 2)Г(а+1)----------*
ц=0
Здесь во второй сумме за р взято р-1, что повлекло замену нижнего Предела
суммирования нулем, а верхнего на v-1. Таким образом,
