Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
а> ь"+ 1 a
| TTa'Tiy (U) (feM) =
V- 1
С u-vV / Г (a+v+1) Г (a + A,+ p+1) / a+A,4-p+l\
-(-*) ^ (-1) Cv_x г (a + p+ 1) Г (a + 1) I'""5+1ЦТrj"
n=o
_ / ач-v V I Г (a+v+1) Г (а+Я, + р +1)
-(-*) 2u (-*) -----r(a+p + 2-f(a+l)-----•
д-о
Полученная сумма аналогична первоначальной сумме, но имеет на одно
слагаемое меньше. Учитывая, что Су-х = Cv-г + СуГ*, опять разобьем сумму
на две суммы и снова заменим во второй сумме р-1 на р. В результате
ПРИЛОЖЕНИЯ
611
получим
V- 2
_/ h-vi rt t\V i Г (a + v-f- 1) Г (а+Я+р + 1)
cv_2-----_ г ,
(1=0
Проделав это преобразование Я раз, будем иметь о Ь<х + 1 ,.a .
d"~
(1 = 0
=(--ттй^-'1 (~1)4 ? C"-A (_1)*=0'
(1 = 0
так как сумма представляет собой биномиальное разложение величины (l-
l)v~\
При К = \ та же формула дает
Следовательно,
J Г(а+1) VUJ J Г(а + 1) A*vr(a+1)
На основании известной теоремы функционального анализа [40] (гл. VIII, §
4) система функций и0^2 e~ku^S^ (и) (v=0, 1,2, ...) полна в пространстве
Я2 (|0, оо)). Следовательно, любая функция /(и), в частности любая
плотность случайной величины, удовлетворяющая условию
Г_Ш_Л|<в0. (3)
J Ua/2e-kul2 ^ '
0
может быть представлена разложением
00
/(и) = иве-*" 2 cvSS(h). (4)
v=0
где
о
Согласно замечанию в п. 2.3.1 конечным отрезком разложения (4) может быть
представлена с любой степенью точности и любая плотность f(u), не
удовлетворяющая условию (3). В частном случае при a = p/2-1, k-l/2
612
ПРИЛОЖЕНИЯ
получается система полиномов, ортогональная по отношению к х2-распре-
делению с р степенями свободы:
где х-симметричная лхл-матрица, а, Ь, с - яхя-матрицы, представляющие
собой функции независимой переменной t. По аналогии со случаем скалярного
уравнения Риккати уравнение (1) называется матричным уравнением Риккати.
Как и аналогичное скалярное уравнение, матричное уравнение Риккати
приводится к системе линейных дифференциальных уравнений удвоенного
порядка, и, следовательно, его решение в общем случае выражается через
фундаментальную матрицу решений этой системы линейных уравнений.
Введем две новые переменные квадратные матрицы у иг, положив
Так как мы ввели две неизвестные функции у, г вместо одной х, то имеем
право связать нх каким-либо соотношением. Приравняв выражение в скобках
нулю, получим систему однородных линейных дифференциальных уравнений для
у, г:
Решив уравнения (3), можно найти решение х уравнения (1) из (2).
Обозначим через Ф (/, т) фундаментальную матрицу решений системы
уравнений (3), т. е. решение уравнения
удовлетворяющее начальному условию ы = /2а при / = т. Тогда общее решение
уравнений (3) определится формулой
где у0 и г0-начальные значения у и г при / = /". Разбив 2ях2я-матрицу
Ф(/, т) на блоки размера пхгс,
(5)
3. Уравнение Риккати Рассмотрим дифференциальное уравнение
х = ах-\-хаТ-хЬх-\-с,
0)
y = xz.
(2)
Дифференцируя эту формулу, будем иметь
у = хг + хг.
y=ay-\-cz, z = by-aTz.
(3)
[у1 гт]т = Ф('. /0)[ySzJ]T,
(4)
перепишем (4) в виде
у-Фц (/, ^о)Уо + Фт2(П tо) zo.
г = Фг1(/, ^о) Уо + Фг2(П ^о) zo-
(5)
ПРИЛОЖЕНИЯ
613
Теперь можно найти решение х уравнения (1) из (2), выразив у0 и г0 через
начальное значение х0 матрицы х. Из (2) видно, что, приняв г0 = /,
получим уо - х0. Подставив эти значения в (5), из (2) находим
*=[Фхх(Ч ^о) Яо-ЬФхг (t, t0)] [Ф21 (t, t0) x0-t-O22 (t, to)]-1. (6)
Очевидно, что из Ф (t0, t0) = /2n следует
Фц(^о. ^о)=Ф2г(^01 to)~In> Фхг(^о> to) " Ф21 (to. t o) = 0. (7)
Формула (6) дает возможность находить решение матричного уравнения
Риккати (1) в аналитическом виде в тех случаях, когда фундаментальная
матрица решений системы уравнений (3) может быть выражена через известные
функции, например, при постоянных матрицах а, Ь, с. В последнем случае Ф
(t, т) = Ф (t-т) и возможно существование стационарного режима, при
котором матрица х постоянна. Чтобы найти это постоянное установившееся
значение х* матрицы х, достаточно перейти в (6) к пределу при t-*00 или
при t0->--00. В результате найдем решение матричного квадратного
уравнения
ax*+x*dt-x*bx*+c = 0, (8)
которое по аналогии с (1) иногда называется алгебраическим уравнением
Риккати.
4. Условные моменты случайного вектора, образованного частью компонент
нормально распределенного вектора
Пусть X - нормально распределенный случайный вектор, т-его математическое
ожидание, К-его ковариационная матрица. Разобьем вектор X на два блока Хх
и Х2, = .Х2]т, и в соответствующем блочном виде
представим его математическое ожидание m = [m! mI]T, ковариационную
матрицу К и обратную матрицу С = К~1,
К =
Kll Kl2 Kil К 22
с=/с-1=1Хп
<-22
Г Си 1Сп
Как известно, распределения и условные распределения векторов и Х2 в этом
случае нормальны (ТВ, п. 4.4.4). Условная плотность вектора Х2 при данном
значении Х\ вектора Хг определяется формулой (ТВ, пп. 4.2.1 и 4.4.1)
/2 (х2 I х{) = [(2я)п | К |/| Кп |] ехр g- \ulC22u2-{-ulC2iU\-\-
+ UiCi2u2 + Uj (Сц-Kxx1)^]^, (1)
где п-размерность вектора Х2, |К| и | ЛГц |-определители матриц К и 7Сц
