Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
фильтр спроектирован, процесс фильтрации определяется только уравнением
(117), которое может решаться в реальном масштабе времени.
Пример 13. Спроектировать дискретный условно оптимальный фильтр для
задачи примера 1,
Z = - Z* + ZV,
используя дискретные наблюдения Z в моменты tl-0) = t(), i(1), g2), ... с
аддитивными ошибками Xn = Zn-\-Vn, Zn=Z где {Vn}-последователь-
ность независимых случайных величин с нулевыми математическими
ожиданиями, независимая от белого шума V. Класс допустимых фильтров
определяется уравнением
%п +1 - [XnZn 2п]т
§ 9.5. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ДИСКРЕТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ 597
Для того чтобы определить матрицу-строку б"=[бп1 6п26пз] и уп,
воспользуемся уравнениями (119), которые в этом случае имеют вид
-т">0 + Dn) 6П1 + (т(tm) -т(tm)т(tm)) б"2 + (т<" -т<">т< оз) бп3 =
("*SSi - "ОийО +(тЯ? - <?|) 6"*+("С - "MS) 6"3 =
№ - "СоЧй) 6"1 + "Й - ""&) + (т"> - mg(tm)) б"з =
= 4o3-/nioo4oW
Т" = -тЦ) бп1 - /м{(tm) 6п2 - /п<" <5п3,
где tnj?qr = MZP+1ZQZrrl, а ?>"-дисперсия случайной величины У".
Уравнения (124), (125), определяющие одномерную характеристическую
функцию процесса [Z (t) Z (t) Z'" (1)]т имеют в этом случае вид
dgi(>4, К, Я3; t)/dt = M iXiZ3- vXfZa j ei*'lZ + '7'!Z+'*",Z"\
Si (^i> ^2> X3; 'r г>) = Л4 exp {i (Xx -J- X3) Zn+j -J- /Ха [6ni (2n-J-
УП)"Ь
-b6n2Z"-f- 6n32n + Vn]},
gi (Xi, X2, X3; t0)=g0 (Xi -X3, X2), где v-интенсивность белого шума V, a
g0 (Pi> Рг) - совместная характеристическая функция случайных величин Z0,
Z0. Решив эти уравнения вместе с уравнениями для бл, Уп любым из
приближенных методов гл. 6, найдем оптимальные значения 6п==[6п1 6л2
6п3], уп.
9.5.4. Фильтрация в случае зависимых ошибок измерения.
Теперь рассмотрим случай зависимых случайных величин Wn в (116),
определяемых через некоторую последовательность независимых случайных
величин {Уп} разностным уравнением вида *)
Wn+1 = (o'n{W", Va). (127)
> Для того чтобы вычислить в этом случае математические ожидания в (120)
- (122), достаточно знания совместного распределения случайных величин
Zn, Z'n+1, Un, Wn и распределения величины Vn, так как Z"n+1 = q>'n(Zn,
Vп) согласно (115). Добавив к (115) уравнение
Un+i = Un(<"n(Zn, Wn), ип) + у", (128)
вытекающее из (116) и (117), и уравнение (127), получим непрерывно-
дискретную систему с расширенным вектором состояния
[Z г у г Wt-JT^
U(t)= 2 uBiAn(t), W(t)= 2 wauB(t).
n =0 71 = 0
Введя ступенчатый процесс
?"") = i z'n\An(t),
__________________ n = о
*) Без потери общности можно предположить, что эти случайные величины Vn-
те же, что и в уравнениях (115).
598 гл. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
можно написать уравнения (5.38а), (5.386) и (5.39а) п. 5.3.1 для
одномерной характеристической функции
gi(K К, К К', t) = Mexp {HlZ + iklU+ iU3W+ HIZ"'}
в виде
dgi(K, К, h, К; t)ldt = M{i%[T(f{Z, /) +
+ 5CC4>(Z, t)TK\ t)) exp {i\\Z + iklU + iklW + iklZ'"}, (129)
§3 (^1> ^2) ^3) ^4> tin + 1)) =
== M exp {i (V + XI) Z'n+1 + iK\n (zn, vn) +
+ HU^n^AZn, W"), Un) + V"\ + i№'n{Wni V")}, (130)
gi(K К, К К; t0)=go([KT+K ^'т]г, К, K), (131)
где g0(Pi, p2, Рз) - совместная характеристическая функция случайных
величин Z0, t/0, Wq. Совместная характеристическая функция случайных
величин Z'n+1, Zn, Un, Wn определяется как значение
К, К К\ - 0)= lim g^K, К, К К\ О
t -+t(n +
характеристической функции gt (Xi, Я2, Я3, Я4; t),
М ехр {iKTZ'n+i + + iWn + mWn + ikJZ'n} =
=gi(K К, К ?я+1)-0). < (132)
Решив уравнения (129)-(131) совместно с (119), находим оптимальные
значения 6", уп. После этого точность фильтрации может быть оценена
средним квадратом ошибки и доверительными областями для Zn V1 так же, как
и раньше.
Для решения уравнений (129) - (131) может быть применен любой из
приближенных методов гл. 6.
Пример 14. Решить задачу примера 13, предположив, что X"=Z"+U7", где
{1РП} - последовательность зависимых случайных величин, определяемых
разностным уравнением И7" + 1 = - qn Wn-\-Vn, где qn - некоторые
постоянные, {Vп} - последовательность независимых случайных величин,
независимая от белого шума V.
В этом случае оптимальные 8" = [8л1 б;г2 б,г3] и у" определяются теми же
уравнениями, что и в примере 13. Моменты т<^>г и дисперсии Dn случайных
величин Wn в этих уравнениях определяются решением уравнений для
одномерной характеристической функции gt (Яь Я2, Я3, Я4; t) процесса
[Z{t)Z{t)W{t)Z"'{t)]\
dgi(K, К, Ха, Я4; t)/dt = М i\xZ3~ vi^z2| eiXlZ + lX'z+iXsW+iX>z'", Ji
(Я*, Я2, Яа, Я4; + = Af exp {i (Я1-(-Я4) Z"-n-f-
[8"1 (Z" -J- Wn) -\-bn2Zn + 8/гз2л + Ул1 + г'Яз (- Чп Wп V")} совместно с
уравнениями, определяющими оптимальные б", у".
§9.3. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ДИСКРЕТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ 599-
9.5.5. Условно оптимальный дискретный экстраполятор. Задача
экстраполяции отличается от задачи оценивания только величиной, которая
должна быть оценена. В задаче экстраполяции вместо Zn+1 должно быть
оценено будущее значение Zn+X+1 = = Z (Дг + Т - !>) процесса Z(t) в
момент времени Тп+1) по результатам наблюдения Х0, Хг, Хп, где т -
