Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
используется непосредственно при формировании оценки Zn+1 в момент
времени tin). Таково условие, при котором М | Zn+1 - Zn+112 или М I Zn+1-
Zn+X+112 минимизируется в каждый момент времени t{n+1' условно
оптимальным фильтром.
Таким образом, задача проектирования условно оптимального фильтра
сводится к нахождению оптимальных последовательностей Я} И Ы в (117).
9.5.3. Условно оптимальный дискретный фильтр. Записав (117) в форме
2п+1 = Аб?п(Хп,иа) + Ауп, (118)
видим, что средний квадрат ошибки M\Zn+1-Zn+1\2 будет минимальным тогда и
только тогда, когда правая часть уравнения (118) представляет собой
линейную среднюю квадратическую регрессию случайной величины Zn+1 на
случайный вектор Хп (Хп, Uп) (ТВ, п. 9.2.2). Таким образом, для
нахождения оптимальных значений Л6П и Ауп можно применить теорию линейной
регрессии.
> Теория линейной регрессии дает следующие уравнения для оптимальных и
Ауп (ТВ, п. 9.2.5):
AbnKn^Ln, Ауп = тп+1-А8п1п, (119)
где
*" = Л4 [?"(*", ?"(*", Vn)\
Ln = M (Zn+1 - mn+1) Zn (X", Un)\ mn+i = MZn+1, ln = M?n(X", Un).
Подставив сюда выражение Xn из (116), Xn = u>n(Zn, W"), получаем
^" = MK"K(2n, wn), Un)-lnUn(a>n(Zn, Wa), Uny, (120)
Ln = M(Zn+1-mn+1)ln(u>n(Za,Wa), Un)\ (121)
mn+l = MZn+1, ln = MZn(*n(Zn, Wn), Un). (122)
A&n, Ayn, определяемые формулами (119), удовлетворяют при любом
соотношениям
м (Zn+1-Zn+yin(Xn,Uny--=M(AUn+1-Zn+1)tn(<*n(Zn,Wn), ипу= 0.
§9.5. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ДИСКРЕТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
595
Оценки Z величин Z" являются несмещенными,
если Л6П и Ауп определяются формулами (119).
Сначала предположим, что случайные величины Wп независимы. В этом случае
можно положить без потери общности Wn=Vn принимая, если необходимо, что
функции в (115) зависят только от одной части компонент вектора Vn, а
функции соп в (116) зависят только от оставшейся части компонент вектора
Vn.
Для того чтобы вычислить математические ожидания в (120)- (122), принимая
во внимание, что по формуле (115) Z"n+L = ср'n(Zn, V"), в этом случае
достаточно знать распределение случайной величины Vn = Wn и совместное
распределение случайных величин Z'n+1" Z", ип (напомним, что из-за
независимости случайной величины Vn от V0, Vu ..., Кп_х и независимости
последовательности {У"} в (116) от процесса W (t) в (115) составной
случайный вектор [Z% Urn Z'J+iy независим от Vn). Для того чтобы найти
это распределение запишем (117) в виде
Un+1 = Un(Un(Zn, Vn), Un) + yn. (123)
Уравнения (115) и (123) представляют собой уравнения непрерывно-
дискретной системы вида (5.32а) п. 5.3.1 с вектором состояния [ZT ?/т]т,
u = U{t)= 2 un\An(t),
п-0
где 1 An(t) - индикатор интервала (7(п>, ^п+1)) (п - 0,1,2,...). Следуя
идеям п. 5.3.1, введем случайный ступенчатый процесс
z"'(o= 2 z'n\An{t), z" = z(/"">)¦
п- О
Тогда одномерная характеристическая функция gy (/.j, ),2у 73; t)
составного векторного процесса [Z(/)r U {ty Z'" (0Г]Г определится
уравнениями (5.38а), (5.386) с начальным условием (5.39а), которые в
данном случае имеют вид
dgi (К, К, t)/dt =
= М {г'Афф(Z, t) + %(\p{Z, tyi'g, t)} ехр {ikTLZ + iXlU+ ihlZ"'}, (124)
gi(K, К, К\ ^(п+1)) = Мехр{г(я;т+я1)г;+1 + + t^iTTn(Z",
V")JrDJi[8nt,n(ion(Zn, Уп), t/J + Vn]}, (125)
gx(K, К, я.; г") = г"([яг+яг >.y]r, я2), (126)
где g0(Pi. Рг) - совместная характеристическая функция значений Z0, Uо
случайных процессов Z(t), U {t) при t = t(, = ti0), а Х1 = = [л(т7,7]т -
разделение вектора Я,!, соответствующее разделению
596 гл- s- УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ и ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
Z=[Z'TZ"T]T вектора Z. Совместная характеристическая функция случайных
величин Znt Un, Z"+1 представляет собой значение
gyy, Я2, Я3; - 0)= lim Я2, К3; t)
t-ь-Цп + Ч
характеристической функции gx (Xlt Я2, Х3; /), определяемой уравнениями
(124)-(126). М
Таким образом, решив уравнения (124)-(126) вместе с (119), найдем
оптимальные 6П и уп в уравнении фильтра (117).
Что касается начального распределения процессов Z(t) и U (t), то можно
заметить, что оно обычно неизвестно, и мы должны взять его произвольным,
так же как в аналогичной задаче в п. 9.2.5. Но даже в случае известного
начального распределения процесса Z (/) распределение случайной величины
U0 приходится задавать произвольно.
Уравнения (124)-(126) могут быть решены любым приближенным методом гл. 6.
Взяв достаточно большое У, можно надеяться найти решение с любой степенью
точности.
Точность любого допустимого фильтра, в частности, условно оптимального,
можно оценить, вычислив средний квадрат ошибки
M|Ze+1-ZB+1|* = Af | Л Vn), Un) + yn]-Zn+,\\
который определяется найденным совместным распределением случайных
величин ^ni ^п + 1, Un и известным распределением случайной величины Vп.
Можно также найти доверительные области для ZB+1.
Все сказанное в п. 9.2.5 о решении уравнений (15), (18) и (24) для а, (3,
у в случае (р XУфматрицы А, N > р, относится и к уравнениям (119).
Решение уравнений (124)-(126) совместно с (119) приходится выполнять
только в процессе проектирования фильтра по априорным данным. Как только
