Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
После этого по формуле (18) можно вычислить оптимальное значение р:
Р = |ДЬ?+1,2+ (Кгп - n) byJt з + <т13] стУэ1. (92)
Для нахождения оптимальной матрицы а в (90) подставим выражения функций
<р, ф4+1 и I из (84), (85) и (90) в (53). В результате, учитывая (51) и
равенства KZX = K~X, KZy = Kyy,
586 ГЛ. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ II ЗКСТРАНСЛЯЦИЯ
находим
=
~Кх Кху К л! X г
Кух *у К - У г
к~ К~
L гх гу Z _
кпх
allKy + d\CliaKny all^yz + аиК г "Г al3^(i5],
У-П - [Ps+ 1, l^!/* + ^.S + l, 2^2д; + ^^ + 1, З^ГС*
^i + 1, iKy + bs + it 2K ?y + bs +1, аКп"
bs+1, i^j + ^i+i, -iK-i ~Jr os3^"9].
Вследствие этих формул (22) дает для оптимального а = [ага2а3] систему
уравнений
агКх + а2Кух + а3К ~х =
= (flu-рь,+!. i) КуХ + (а12 - рб,+!,,) К 2-Г (а13 ¦- рь,+1, з) ,
"Д*, + а2^ + а3К ?у =
- (ан' P^s+i, i) К-у "Ь (ai2 P^5+i, 2) "н (а1з P^i+i, з)КПу, а1^-хг ".*,9
? =
= (ап-Pb*+i,i)^; + К2-P6,+i. 2)/Сг Ч-Кз-Pbs+i. з)Кп?- (93) На основании
соотношений
КХу = biKy + Ь2К + Ь3КПу,
^=W,j+W;+W";,
(94)
" XZ ~1-'"yz 1 v'a*'2 1 W3"rj2'
вытекающих из (88), второе и третье уравнения (93) можно переписать в
матричном виде:
[(r)2 Т" а1^1 Т" Р^?+1, 1 (r)3 Т" (r)1^2 ^Т.2 "f" 1, 2] "^П =
= (а13-рЬ,+1. ,)[/Сяг, Кп?],
где
_ г /Г.. К --
(95)
хп -
-ковариационная матрица случайного вектора \YT ZT]r. Так как компоненты
случайных векторов У и Z не могут быть связаны линейными зависимостями,
то матрицу хп можно Снитать обратимой. Тогда будем иметь
[Яг + аД а" + аА] = [а11-P^+lil а12-$bs+ii 2] +
+ (als-a1b3-$bs+1'3)[Kn,J Kn?]yxi- (96)
Вычитая из первого уравнения (93) второе, умноженное справа на Ъ\, и
третье, умноженное справа на Ь\, на основании со-
§9.4. ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
587
отношений (94) и соотношений
Кх - Kxyb\ + КХ~Ь\ + КХ"Ь1,
К^х = Kyb\ + Ky~bl + Kynbl,
Кпх = ^пг/^1 + К^ЬЪ + К"Ьз>
также вытекающих из (88) и равенств Kxz - Kxi, Kyz = K Кг^ = = /(-,
получаем
(а\Кхп + а3Куп + ОС3К~") Ь1 =
= [("11- №j+l, l) Куп + ("12 P^i + 1, г) к&3 +
+ ("13-Р^5+1, з) [(^ПЗ---^2 + ^Сп^з],
ИЛИ
(r)lpa (^zn -^*?") + №]$ +
+ [а2 + а А &з + аА][^А ^ j"] ^з =
= ["11 IA+1, 1 "12 IA + 1, 2] [^Cyn ^ +
+ ("13 IA+i, з) \{Knz -К~г) b\-\- KnbJ\.
Подставив сюда выражение [а2 + аА a3 + aA] из (96), получим ai [bi(Kzn -
К~п) + ЬъКп\ Ь5 +
+ ("13 - IA+1, з aA) \.Куп к гп\ ^Ц1 \К.1)П Ь1 -
= ("13- Pbs+1. з) [(^nz- ^"s) # + *,$]. Отсюда на основании вытекающего
из равенств Kxz = Кх^, Ку2 = = Kyi, /С2? = /Сj соотношения
ь3 (К"*-К~) = -Ьг (Kz-Ki)=-btR (97)
получаем уравнение "1 (b3Knbl-b2Rbl) =
= (a13-pbs+Us)[Knbl+(Knz-KnZ)bl], (98)
где для краткости положено
Кя = *"-[*"" Ki"] [**, /Г2П]Т *). (99)
*) В случае нормального распределения вектора |YTZINT]T, что возможно,
конечно, только при dr = 0, с2г = 0 (/¦=!, ..., m-\-p-\-h), т" и Кп
представляют собой условные математическое ожидание и ковариацион-
ную матрицу помехи N относительно Y и Z (приложение 4).
588 гл- 9- УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
Так как компоненты помехи N не связаны линейными зависимостями и h^ms, то
rrisXms-матрица Ь3К"Ь\ всегда обратима (матрица b2Rbl при р < ms
необратима). Поэтому уравнение (98) всегда определяет щ.
Формулы (51), (15) и (96) дают следующую формулу для оптимального у:
где
V = flio -Р^+1, о + Кз-Р^+1,3 - аф3)тп, -[Куп Кzn Ki1 [т] ml].
т" = т
п
(100)
(101)
к =
к у Киг
К2у Кг
L Кпу кп
Для нахождения (3, а = [а1а2ос3] и у по формулам (18), (91), (92), (95),
(96), (98) - (101) необходимо знать математическое ожидание т = \тТу ml
mJ]T и ковариационную матрицу
Куп Кг"
Vnz Кп _
случайного вектора Q = [Ут ZT jVt]т, а также матрицы R и *"=***¦
Для нахождения т и К воспользуемся уравнениями (6.20) и (6.22), которые в
данном случае имеют вид
т = Ат + А0,
m + p + h
К = А К -Ь КЛГ -j- cqvcq -f- 2 "Ь crvco) ftir "г
r= 1
m +p +h
+ 2 crvcl(mrmq + Kj),
Г. Q= 1
(102)
(103)
где
~Ьц &12 ^13 ^10 - 0 '
А ац а12 а13 II О flio 1 С г Cl г
_а21 ^22 а23- _a20- f- съ to "1 1_
(r = 0, 1, . . ., m + P + h).
Уравнения (102) и (103) с соответствующими начальными условиями
определяют т и К.
Для нахождения уравнения для ковариационной матрицы ошибки воспользуемся
формулой (64). Подставив в нее выражения ф, ф и гИ из (84) и (85),
получаем уравнение
R = auR + RaT12 + ai3 (K"z-Knz) + (Kzn-K zn) "Is-Pcr33PT + 9ц,
(104)
где alf и <т33 определяются формулой (91).
Для нахождения уравнения для К~п следует составить уравнение (6.22) для
ковариационной матрицы составного вектора
§9.4. ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
589
[QT Zr]T = [Yr Z[ Nr Zr]T. Из этого уравнения получается следующее
уравнение для К~п:
Kzn = + •К'J"°2S + (^(г ^0 а22 + ^Z!/a21 +
+ (а2 + "АтР^+1, l) (а1^2 + P&S+1, 2) Kzn "Ь
+ (а1^3 + P^s+l, з) А Ра32- (105)
При выводе этого уравнения учтено, что K~=KZ- R и К~у =
= К*г
Интегрируя уравнения (104) и (105) при соответствующих начальных условиях
с |3 и а, определяемыми формулой (92) и уравнениями (96) и (98), найдем
оптимальные аир, после чего оптимальное значение у определится по формуле
